Use o resultado do Exemplo 3 para achar uma representação em série de potências de e^raizx.

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de e^raizx usando o resultado clássico do Exemplo 3 (que é a série de Taylor de e^t em torno de zero). Vamos usar a ideia de substituir t=raizx na série de e^t.

Passo 2

Do Exemplo 3 sabemos que
e^t=sumn=0^inftyt^nn!
Fazendo a substituição t=raizx obtemos
e^raizx=sumn=0^infty(raizx)^nn!=sumn=0^inftyx^n/2n!

Passo 3

Para escrever em potências separando inteiros e meios-inteiros, dividimos em termos pares e ímpares de n:
  • Se n=2k, então x^n/2=x^k e o coeficiente é 1/(2k)!.
  • Se n=2k+1, então x^n/2=x^k+1/2 e o coeficiente é 1/(2k+1)!.
    Logo,
e^raizx=sumk=0^inftyx^k(2k)!+sumk=0^inftyx^k+1/2(2k+1)!

Resposta

e^raizx=sumn=0^inftyx^n/2n!=sumk=0^inftyx^k(2k)!+sumk=0^inftyx^k+1/2(2k+1)!

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