Uma onda sonora da forma
se propaga a
no ar em um tubo horizontal longo. Em um dado instante, a molécula
do ar, situada no ponto
, está com o deslocamento máximo positivo de
, e a molécula
, situada em
, está com um deslocamento positivo de
. Todas as moléculas entre
e
estão com deslocamentos intermediários. Qual é a frequência da onda?
Passo 1
O enunciado dá uma onda sonora da forma
e as informações seguintes:
a molécula
está em deslocamento máximo positivo
(logo
) e a molécula
está com deslocamento
. Também é dito que todas as moléculas entre
e
têm deslocamentos intermediários (ou seja, não há outra máxima ou mínima entre elas). A pergunta é: qual é a frequência da onda?
Passo 2
Interpretação e notação útil. Como as duas observações são feitas no mesmo instante de tempo
, o termo
é uma constante comum para ambas as posições. Vamos chamar essa constante de
:
Então, no instante considerado, o deslocamento em
vale
Isso facilita escrever as equações para
e
.
Passo 3
Escrever as duas equações conhecidas.
Para temos
, portanto
Para
A solução geral da equação
é
com
. Assim
Para
temos
e
, logo
Passo 4
Substituímos
obtido de
na equação de
. Usando
e a periodicidade do cosseno (o termo
não altera o cosseno) obtemos
Definindo
(distância entre as moléculas), isso fica
Passo 5
Calcular
:
A equação
tem soluções gerais
Agora precisamos escolher qual solução física corresponde ao enunciado. A condição de que “todas as moléculas entre
e
estão com deslocamentos intermediários” significa que não existe outra máxima ou mínima entre
e
. Isso implica que a diferença de fase entre
e
, isto é
, deve ser menor que
(se fosse
apareceriam inversões de sinal ou extremos intermediários). Portanto escolhemos a solução principal positiva
Passo 6
Calcular numericamente
:
Avaliação numérica (usando aproximações manuais controladas):
logo
Passo 7
Relacionar
com a frequência. Sabemos que a velocidade de fase da onda satisfaz
e
. Assim
Com
obtemos
A frequência é
Passo 8
Validação rápida: poderiam existir soluções com
em
, que dariam
maiores e, portanto, frequências muito maiores. Essas soluções correspondem a várias oscilações inteiras entre
e
, o que contradiz a informação de que todas as moléculas entre
e
têm deslocamentos intermediários (sem máximos/minimos adicionais). Por isso a solução escolhida (o menor
) é a física para o enunciado.