\because 13 Uma onda sonora da forma s=s_{m} \cos (k x-\omega t+\varphi) se propaga a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar em um tubo horizontal longo. Em um dado instante, a molécula A do ar, situada no ponto x=2,000 \mathrm{~m}, está com o deslocamento máximo positivo de 6,00 \mathrm{~nm}, e a molécula B, situada em x=2,070 \mathrm{~m}, está com um deslocamento positivo de 2,00 \mathrm{~nm}. Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários. Qual é a frequência da onda?

Passo 1

O enunciado dá uma onda sonora da forma
s = s_{m}\cos(kx-\omega t+\varphi)
e as informações seguintes:
v=343\\ \mathrm{m/s},\qquad x_A=2000\\ \mathrm{m},\qquad x_B=2070\\ \mathrm{m},
a molécula A está em deslocamento máximo positivo s_A=6{,}00\\ \mathrm{nm} (logo s_m=6{,}00\\ \mathrm{nm}) e a molécula B está com deslocamento s_B=2{,}00\\ \mathrm{nm}. Também é dito que todas as moléculas entre A e B têm deslocamentos intermediários (ou seja, não há outra máxima ou mínima entre elas). A pergunta é: qual é a frequência da onda?

Passo 2

Interpretação e notação útil. Como as duas observações são feitas no mesmo instante de tempo t_0, o termo -\omega t_0+\varphi é uma constante comum para ambas as posições. Vamos chamar essa constante de \alpha:
\alpha = -\omega t_0 + \varphi.
Então, no instante considerado, o deslocamento em x vale
s(x)=s_m\cos(kx+\alpha).
Isso facilita escrever as equações para A e B.

Passo 3

Escrever as duas equações conhecidas.
Para A temos s_A=s_m, portanto
\cos(kx_A+\alpha)=1.
A solução geral da equação \cos\theta=1 é \theta=2\pi n com n\in\mathbb{Z}. Assim
kx_A+\alpha = 2\pi n \quad\Rightarrow\quad \alpha = -kx_A + 2\pi n.
Para B temos s_B=2{,}00\\ \mathrm{nm} e s_m=6{,}00\\ \mathrm{nm}, logo
\cos(kx_B+\alpha)=\frac{s_B}{s_m}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Substituímos \alpha obtido de A na equação de B. Usando \alpha=-kx_A+2\pi n e a periodicidade do cosseno (o termo 2\pi n não altera o cosseno) obtemos
\cos\big(kx_B - kx_A\big)=\frac{1}{3}.
Definindo \Delta x = x_B-x_A (distância entre as moléculas), isso fica
\cos(k\Delta x)=\frac{1}{3}.

Passo 5

Calcular \Delta x:
\Delta x = 2070-2000 = 70\\ \mathrm{m}.
A equação \cos(k\Delta x)=\tfrac{1}{3} tem soluções gerais
k\Delta x = \pm\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) + 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Agora precisamos escolher qual solução física corresponde ao enunciado. A condição de que “todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários” significa que não existe outra máxima ou mínima entre A e B. Isso implica que a diferença de fase entre A e B, isto é k\Delta x, deve ser menor que \pi (se fosse \ge\pi apareceriam inversões de sinal ou extremos intermediários). Portanto escolhemos a solução principal positiva
k\Delta x = \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).

Passo 6

Calcular numericamente k:
k = \frac{1}{\Delta x}\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}{70\\ \mathrm{m}}.
Avaliação numérica (usando aproximações manuais controladas):
\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 1{,}23096\\ \mathrm{rad},
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k\approx \frac{1{,}23096}{70}=0{,}017585\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 7

Relacionar k com a frequência. Sabemos que a velocidade de fase da onda satisfaz \displaystyle v=\frac{\omega}{k} e \omega=2\pi f. Assim
\omega = v k.
Com v=343\\ \mathrm{m/s} obtemos
\omega \approx 343\times 0{,}017585 \approx 6{,}033\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}\approx\frac{6{,}033}{2\pi}\approx 0{,}9604\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Validação rápida: poderiam existir soluções com m\ge1 em k\Delta x=\operatorname{arccos}(1/3)+2\pi m, que dariam k maiores e, portanto, frequências muito maiores. Essas soluções correspondem a várias oscilações inteiras entre A e B, o que contradiz a informação de que todas as moléculas entre A e B têm deslocamentos intermediários (sem máximos/minimos adicionais). Por isso a solução escolhida (o menor k>0) é a física para o enunciado.

Resposta

0,960\\ \mathrm{Hz}

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