Reconheça as seguintes cônicas:
(f) x^{2}+2 x y+y^{2}-4 \sqrt{2} y+1=0;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: reconhecer a cônica dada pela equação
x^{2}+2xy+y^{2}-4\sqrt{2}\,y+1=0.
  • O que se pede: identificar o tipo de cônica (se é parábola, elipse, hipérbole, cônicas degeneradas, etc.) e, se for possível, obter a forma canônica/elementos principais (vértice, eixo, equação em coordenadas apropriadas).
Informações extraídas claramente da equação: os coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 são
A=1,\qquad B=2,\qquad C=1,\qquad D=0,\qquad E=-4\sqrt{2},\qquad F=1.

Passo 2

Teste com o discriminante das cônicas e o significado dele (aula rápida).
  • Para a cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0 define-se o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Regra prática: se \Delta>0 a cônica é hipérbole; se \Delta<0 é elipse (ou círculo se A=C e B=0); se \Delta=0 a cônica é uma parábola (ou degenerada). Esta é uma forma rápida de classificar sem calcular rotações.
Calcule aqui:
\Delta = B^{2}-4AC = 2^{2}-4\cdot1\cdot1 = 4-4=0.
Como \Delta=0, a cônica é uma parábola (ou uma parábola degenerada). Vamos verificar que é de fato uma parábola não degenerada e colocar na forma canônica.

Passo 3

Observação algébrica simples que facilita: o termo quadrático tem fatoração óbvia.
Note que
x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
Logo a equação se escreve
(x+y)^{2}-4\sqrt{2}\,y+1=0.
Isto já sugere que convém escolher uma coordenada baseada em x+y para simplificar. Vamos fazer uma rotação de 45^\circ (ou mudança linear ortonormal) para trabalhar com combinações x+y e x-y.

Passo 4

Mudança de variáveis por rotação de 45^\circ (explicando o porquê).
  • Motivação: o termo misto xy some se rotacionarmos em 45^\circ quando A=C. Uma escolha ortonormal conveniente é
\xi = \frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad \eta = \frac{x-y}{\sqrt{2}}.
Isto é uma rotação com matriz ortogonal; as fórmulas inversas são
x=\frac{\xi+\eta}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{\xi-\eta}{\sqrt{2}}.
Agora substituímos na equação original. Primeiro calcule x+y em termos de \xi:
x+y=\sqrt{2}\,\xi,
e
y=\frac{\xi-\eta}{\sqrt{2}}.
Substituindo em (x+y)^{2}-4\sqrt{2}\,y+1=0 obtém-se
(\sqrt{2}\,\xi)^{2}-4\sqrt{2}\,\frac{\xi-\eta}{\sqrt{2}}+1=0.
Simplificando:
2\xi^{2}-4(\xi-\eta)+1=0.
Expandindo e reagrupando termos:
2\xi^{2}-4\xi+4\eta+1=0.
Isolando \eta:
4\eta = -2\xi^{2}+4\xi-1,
\eta = -\frac{1}{2}\xi^{2}+\xi-\frac{1}{4}.

Passo 5

Colocar na forma canônica completando quadrado (aula prática sobre completar quadrado).
Para ver a forma canônica, completar o quadrado em \xi\): \[\eta = -\frac{1}{2}\bigl(\xi^{2}-2\xi\bigr)-\frac{1}{4}.
Escreva \xi^{2}-2\xi=(\xi-1)^{2}-1. Substituindo:
\eta = -\frac{1}{2}\bigl((\xi-1)^{2}-1\bigr)-\frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(\xi-1)^{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(\xi-1)^{2}+\frac{1}{4}.
Reescrevendo em forma canônica:
(\xi-1)^{2} = -2\bigl(\eta-\tfrac{1}{4}\bigr).
Esta é a equação canônica de uma parábola em coordenadas (\xi,\eta): a variável quadrática \xi ao quadrado é proporcional (com sinal negativo) à deslocamento em \eta. O coeficiente -2 indica que a parábola abre no sentido de \eta negativo (ou seja, na direção de \eta decrescente). O vértice na coordenada (\xi,\eta) é (1,\tfrac{1}{4}).
Agora voltamos ao sistema original (x,y). Como
\xi=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad \eta=\frac{x-y}{\sqrt{2}},
o vértice em (x,y) é obtido resolvendo \xi=1 e \eta=\tfrac{1}{4}:
\begin{cases} \frac{x+y}{\sqrt{2}}=1,\\[4pt] \frac{x-y}{\sqrt{2}}=\tfrac{1}{4}, \end{cases}
que dá, somando e subtraindo,
x=\frac{5\sqrt{2}}{8},\qquad y=\frac{3\sqrt{2}}{8}.
O eixo de simetria da parábola é a reta \xi=1\], isto é, em coordenadas originais a reta \[x+y=\sqrt{2}.\] A parábola abre no sentido do vetor correspondente a \(\eta decrescente; em termos de x,y isso é a direção proporcional a (-1,1).]

Passo 6

Resumo interpretativo e confirmação de que não é degenerada.
  • A equação reduzida (\xi-1)^{2}=-2(\eta-\tfrac{1}{4}) é uma parábola padrão (não degenerada).
  • Portanto a cônica original é uma parábola, com vértice em \bigl(\tfrac{5\sqrt{2}}{8},\tfrac{3\sqrt{2}}{8}\bigr), eixo dado por x+y=\sqrt{2} e equação canônica em (\xi,\eta) como acima.

Resposta

Parábola. Vértice em \left(\dfrac{5\sqrt{2}}{8},\dfrac{3\sqrt{2}}{8}\right). Equação canônica em \xi=\dfrac{x+y}{\sqrt{2}},\\ \eta=\dfrac{x-y}{\sqrt{2}}:
(\xi-1)^{2} = -2\bigl(\eta-\tfrac{1}{4}\bigr).

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