Reconheça as seguintes cônicas:
(f) x^{2}+2 x y+y^{2}-4 \sqrt{2} y+1=0;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Enunciado: reconhecer a cônica dada pela equação
x^{2}+2xy+y^{2}-4\sqrt{2}\,y+1=0.
O que se pede: identificar o tipo de cônica (se é parábola, elipse, hipérbole, cônicas degeneradas, etc.) e, se for possível, obter a forma canônica/elementos principais (vértice, eixo, equação em coordenadas apropriadas).
Informações extraídas claramente da equação: os coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 são
Teste com o discriminante das cônicas e o significado dele (aula rápida).
Para a cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0 define-se o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Regra prática: se \Delta>0 a cônica é hipérbole; se \Delta<0 é elipse (ou círculo se A=C e B=0); se \Delta=0 a cônica é uma parábola (ou degenerada). Esta é uma forma rápida de classificar sem calcular rotações.
Calcule aqui:
\Delta = B^{2}-4AC = 2^{2}-4\cdot1\cdot1 = 4-4=0.
Como \Delta=0, a cônica é uma parábola (ou uma parábola degenerada). Vamos verificar que é de fato uma parábola não degenerada e colocar na forma canônica.
Passo 3
Observação algébrica simples que facilita: o termo quadrático tem fatoração óbvia.
Note que
x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
Logo a equação se escreve
(x+y)^{2}-4\sqrt{2}\,y+1=0.
Isto já sugere que convém escolher uma coordenada baseada em x+y para simplificar. Vamos fazer uma rotação de 45^\circ (ou mudança linear ortonormal) para trabalhar com combinações x+y e x-y.
Passo 4
Mudança de variáveis por rotação de 45^\circ (explicando o porquê).
Motivação: o termo misto xy some se rotacionarmos em 45^\circ quando A=C. Uma escolha ortonormal conveniente é
Esta é a equação canônica de uma parábola em coordenadas (\xi,\eta): a variável quadrática \xi ao quadrado é proporcional (com sinal negativo) à deslocamento em \eta. O coeficiente -2 indica que a parábola abre no sentido de \eta negativo (ou seja, na direção de \eta decrescente). O vértice na coordenada (\xi,\eta) é (1,\tfrac{1}{4}).
O eixo de simetria da parábola é a reta \xi=1\], isto é, em coordenadas originais a reta
\[x+y=\sqrt{2}.\]
A parábola abre no sentido do vetor correspondente a \(\eta decrescente; em termos de x,y isso é a direção proporcional a (-1,1).]
Passo 6
Resumo interpretativo e confirmação de que não é degenerada.
A equação reduzida (\xi-1)^{2}=-2(\eta-\tfrac{1}{4}) é uma parábola padrão (não degenerada).
Portanto a cônica original é uma parábola, com vértice em \bigl(\tfrac{5\sqrt{2}}{8},\tfrac{3\sqrt{2}}{8}\bigr), eixo dado por x+y=\sqrt{2} e equação canônica em (\xi,\eta) como acima.
Resposta
Parábola. Vértice em \left(\dfrac{5\sqrt{2}}{8},\dfrac{3\sqrt{2}}{8}\right). Equação canônica em \xi=\dfrac{x+y}{\sqrt{2}},\\ \eta=\dfrac{x-y}{\sqrt{2}}: