4.49 Provar Os eventos A e ø são independentes.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para um espaço de probabilidade qualquer, os eventos A e \varnothing são independentes. Ou seja, precisamos mostrar que
\mathbb{P}(A\cap\varnothing)=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\varnothing).
As informações que temos são simplesmente a existência de um evento arbitrário A e do conjunto vazio \varnothing no mesmo espaço de probabilidade.

Passo 2

Relembrando a definição de independência de eventos de forma bem direta e prática: dois eventos E e F são independentes quando vale
\mathbb{P}(E\cap F)=\mathbb{P}(E)\,\mathbb{P}(F).
O nosso objetivo é verificar essa igualdade no caso E=A e F=\varnothing.

Passo 3

Um fato puramente setórico (elementar) que vamos usar: para qualquer conjunto A vale
A\cap\varnothing=\varnothing.
Explicação curta e intuitiva: o conjunto vazio não contém elemento algum, logo não há elemento que pertença simultaneamente a A e a \varnothing; portanto a interseção é vazia.

Passo 4

Agora um fato básico dos axiomas de probabilidade: a probabilidade do conjunto vazio é zero. Podemos mostrar isso rapidamente assim. Seja \Omega o espaço amostral; como \Omega e \varnothing são disjuntos e \Omega\cup\varnothing=\Omega, pela aditividade finita
\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(\Omega\cup\varnothing)=\mathbb{P}(\Omega)+\mathbb{P}(\varnothing).
Subtraindo \mathbb{P}(\Omega) dos dois lados obtemos \mathbb{P}(\varnothing)=0. Também sabemos que \mathbb{P}(\Omega)=1, mas o que importa aqui é \mathbb{P}(\varnothing)=0.

Passo 5

Juntando os passos anteriores:
\mathbb{P}(A\cap\varnothing)=\mathbb{P}(\varnothing)=0.
E, por outro lado,
\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\varnothing)=\mathbb{P}(A)\cdot 0=0.
Portanto
\mathbb{P}(A\cap\varnothing)=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\varnothing).
Isso é exatamente a condição de independência entre A e \varnothing.

Passo 6

Conclusão didática e encorajadora: independentemente de A ter probabilidade zero ou não, a interseção com o conjunto vazio sempre dá vazio e a probabilidade do vazio é zero, então a igualdade da definição de independência sempre se verifica. Logo, A e \varnothing são independentes.

Resposta

Os eventos A e \varnothing são independentes, pois \mathbb{P}(A\cap\varnothing)=\mathbb{P}(\varnothing)=0=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\varnothing).

Exercícios relacionados