4.49 Provar Os eventos A e ø são independentes.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para um espaço de probabilidade qualquer, os eventos
e
são independentes. Ou seja, precisamos mostrar que
As informações que temos são simplesmente a existência de um evento arbitrário
e do conjunto vazio
no mesmo espaço de probabilidade.
Passo 2
Relembrando a definição de independência de eventos de forma bem direta e prática: dois eventos
e
são independentes quando vale
O nosso objetivo é verificar essa igualdade no caso
e
.
Passo 3
Um fato puramente setórico (elementar) que vamos usar: para qualquer conjunto
vale
Explicação curta e intuitiva: o conjunto vazio não contém elemento algum, logo não há elemento que pertença simultaneamente a
e a
; portanto a interseção é vazia.
Passo 4
Agora um fato básico dos axiomas de probabilidade: a probabilidade do conjunto vazio é zero. Podemos mostrar isso rapidamente assim. Seja
o espaço amostral; como
e
são disjuntos e
, pela aditividade finita
Subtraindo
dos dois lados obtemos
. Também sabemos que
, mas o que importa aqui é
.
Passo 5
Juntando os passos anteriores:
E, por outro lado,
Portanto
Isso é exatamente a condição de independência entre
e
.
Passo 6
Conclusão didática e encorajadora: independentemente de
ter probabilidade zero ou não, a interseção com o conjunto vazio sempre dá vazio e a probabilidade do vazio é zero, então a igualdade da definição de independência sempre se verifica. Logo,
e
são independentes.
Resposta
Os eventos
e
são independentes, pois
.