4.49* A ruptura do dielétrico ocorre em um material sempre que o campo \mathbf{E} exceder a rigidez dielétrica em qualquer ponto do material. Considerando o capacitor coaxial do Exemplo 4-12,
(a) para qual valor de r|E|, é máximo?
(b) qual a tensão de ruptura se a=1 \mathrm{~cm}, b=2 \mathrm{~cm} e o material dielétrico for a mica \operatorname{com} \varepsilon_{\mathrm{r}}=6 ?

Passo 1

O enunciado trata da ruptura dielétrica de um capacitor coaxial (Exemplo 4-12). Sabemos que a ruptura ocorre quando o campo elétrico \mathbf{E} em algum ponto excede a rigidez dielétrica E_{\rm bd} do material. Vamos usar a expressão do campo em função do potencial V e da geometria do capacitor coaxial de raios internos a e externos b.

Passo 2

Do Exemplo 4-12 (e da lei de Gauss em coaxial preenchido por dielétrico uniforme), o campo em módulo é
E(r)\;=\;\frac{V}{r\,\ln\!\bigl(b/a\bigr)},
portanto
r\,|E(r)| \;=\;\frac{V}{\ln\!\bigl(b/a\bigr)},
que é independente de r. Logo, r\,|E| não varia com r e atinge o mesmo valor para qualquer raio a\le r\le b.

Passo 3

Para a ruptura, o valor máximo de |E| ocorre no ponto de menor raio, isto é em r=a. Assim, em r=a devemos ter
|E_{\max}| \;=\;\frac{V_{\rm bd}}{a\,\ln\!\bigl(b/a\bigr)} \;=\;E_{\rm bd},
onde V_{\rm bd} é a tensão de ruptura e E_{\rm bd} é a rigidez dielétrica da mica.

Passo 4

Isolando V_{\rm bd}, temos
V_{\rm bd} \;=\;E_{\rm bd}\,a\,\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).
Para a=1\text{ cm}=0{,}01\text{ m} e b=2\text{ cm} vale \ln(b/a)=\ln2\approx0{,}693. Assim
V_{\rm bd} =E_{\rm bd}\times0{,}01\times0{,}693 =0{,}00693\,E_{\rm bd}.
Como a rigidez dielétrica da mica é tipicamente E_{\rm bd}\approx1{,}18\times10^8\text{ V/m}, obtemos
V_{\rm bd} \approx0{,}00693\times1{,}18\times10^8 \approx8,18\times10^5\text{ V}.

Resposta

(a) r\,|E(r)| é constante e igual a \displaystyle\frac{V}{\ln(b/a)} para todo a\le r\le b.
(b) \displaystyle V_{\rm bd}=E_{\rm bd}\,a\,\ln2\approx8{,}18\times10^5\text{ V} (usando E_{\rm bd}=1{,}18\times10^8\text{ V/m}).

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