Use a teoria das imagens para determinar V e E em um ponto qualquer P(x, y, z) na região z>0 devido à carga Q situada no espaço livre a uma distância d acima de um plano condutor aterrado.

Passo 1

O enunciado quer o potencial elétrico V e o campo elétrico \mathbf{E} num ponto genérico P(x,y,z) com z>0, devido a uma carga pontual Q situada em (0,0,d) acima de um plano condutor infinito aterrado em z=0. O conteúdo é o método das imagens, que substitui o condutor por uma carga imagem tal que a condição de V=0 no plano seja satisfeita.

Passo 2

Pelo método das imagens, colocamos uma carga imagem -Q em (0,0,-d). Então, no espaço z>0, o potencial resultante é a soma dos potenciais da carga real e da imagem:
V(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl( \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}} - \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}} \Biggr).
Verifica-se facilmente que em z=0 as distâncias são simétricas e V=0, atendendo ao condutor aterrado.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico, usamos \mathbf{E}=-\nabla V. Calculando as derivadas parciais, obtemos em forma vetorial:
\mathbf{E}(x,y,z) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+(z-d)\,\hat{\mathbf{k}}} {\bigl(x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}\bigr)^{3/2}} - \frac{x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+(z+d)\,\hat{\mathbf{k}}} {\bigl(x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}\bigr)^{3/2}} \Biggr].

Resposta

V e \mathbf{E} no ponto P(x,y,z) com z>0 são dados por
V(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl( \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}} - \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}} \Biggr),
\mathbf{E}(x,y,z) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+(z-d)\,\hat{\mathbf{k}}} {\bigl(x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}\bigr)^{3/2}} - \frac{x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+(z+d)\,\hat{\mathbf{k}}} {\bigl(x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}\bigr)^{3/2}} \Biggr].

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