4.49 Seja uma aleta unidimensional, com área de seção transversal uniforme, isolada na sua extremidade, x=L. (Veja a Tabela 3.4, caso B). A temperatura na base da aleta T_{b} e a do fluido vizinho T_{\infty}, bem como o coeficiente de transferência de calor h e a condutividade térmica k, são conhecidos.
(a) Deduza a equação de diferenças finitas para qualquer nó interior m.
(b) Deduza a equação de diferenças finitas para um nó n localizado na extremidade isolada.

Passo 1

O enunciado dá uma aleta unidimensional com seção transversal uniforme, isolada na extremidade x=L. São conhecidos:
  • a temperatura na base T_{b} (em x=0);
  • a temperatura do fluido vizinho T_{\infty};
  • o coeficiente de convecção h;
  • a condutividade térmica k;
  • a geometria da aleta: área da seção transversal A e perímetro molhado P;
  • a aleta está em regime estacionário (não há termo de geração volumétrica mencionado).
Pede-se:
(a) deduzir a equação de diferenças finitas para um nó interior genérico, indicado por m;
(b) deduzir a equação de diferenças finitas para o nó n que está na extremidade isolada ( x=L), isto é, com condição de contorno isolada dT/dx|_{x=L}=0.
Observação: para discretizar usaremos uma malha uniforme com espaçamento \Delta x e nós numerados 0,1,\dots,n com x_0=0 (base) e x_n=L (ponta isolada). A equação final deve ficar em termos de T_i (temperaturas nodais), \Delta x, k, h, A, P e T_\infty.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial de equilíbrio de energia para a aleta (forma padrão): para um elemento diferencial da aleta, condução no interior menos perda por convecção na superfície lateral = 0, logo
k A \frac{d^2 T}{dx^2} - h P \bigl(T - T_{\infty}\bigr)=0.
Explicando cada termo:
  • kA \dfrac{d^2 T}{dx^2} representa a variação espacial do fluxo de condução (condução ao longo do eixo x);
  • hP(T-T_{\infty}) é a perda por convecção por unidade de comprimento (perímetro P vezes h e diferença de temperatura local para o fluido);
  • a equação é estacionária e unidimensional.
É usual definir o parâmetro
\mu^2 \equiv \frac{hP}{kA},
de modo que a equação fica mais compacta:
\frac{d^2 T}{dx^2} - \mu^2\bigl(T - T_{\infty}\bigr)=0.
Aqui, \mu tem dimensão de 1/comprimento e quantifica a razão entre perda por convecção lateral e capacidade de condução axial.

Passo 3

Agora vamos discretizar a equação para um nó interior m (com 1\le m\le n-1). Usamos a aproximação por diferenças finitas centradas para a segunda derivada:
\left.\frac{d^2 T}{dx^2}\right|_{x=x_m}\approx \frac{T_{m+1}-2T_m+T_{m-1}}{\Delta x^2},
onde T_j é a temperatura no nó j e \Delta x é o espaçamento entre nós.
Substituindo esta diferença finita na equação diferencial com \mu^2, obtemos a equação discreta no nó m:
\frac{T_{m+1}-2T_m+T_{m-1}}{\Delta x^2}-\mu^2\bigl(T_m-T_{\infty}\bigr)=0.

Passo 4

Arrumando a equação obtida para uma forma algébrica linear (própria para montar o sistema), multiplicamos por \Delta x^2 e coletamos termos:
T_{m-1}-2T_m+T_{m+1}-\mu^2\Delta x^2\bigl(T_m-T_{\infty}\bigr)=0.
Expandindo e agrupando os termos que multiplicam T_m:
T_{m-1}+T_{m+1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}-(2+\mu^2\Delta x^2)T_m=0.
Isolando T_m (forma explícita útil em iterações):
T_m=\frac{T_{m-1}+T_{m+1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}}{2+\mu^2\Delta x^2}.
Interpretação rápida: T_m é uma média ponderada das temperaturas vizinhas mais um termo que puxa para T_\infty. Quando \mu^2\to 0 (perdas laterais desprezíveis), recupera-se a média simples T_m=(T_{m-1}+T_{m+1})/2.

Passo 5

Agora tratamos a condição de contorno na extremidade isolada x=L (nó n). A condição física é
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0.
Para implementar com diferenças finitas usamos uma aproximação de derivada central no nó final introduzindo um nó “fantasma” T_{n+1}. A aproximação central para a derivada em x_n
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x_n}\approx\frac{T_{n+1}-T_{n-1}}{2\Delta x}=0,
o que implica a relação do tipo espelho
T_{n+1}=T_{n-1}.
Esse é o artifício padrão (método do nó fantasma) para condição de derivada nula.

Passo 6

Substituímos T_{n+1}=T_{n-1} na fórmula discreta da segunda derivada no nó n:
\left.\frac{d^2 T}{dx^2}\right|_{x_n}\approx\frac{T_{n+1}-2T_n+T_{n-1}}{\Delta x^2}=\frac{2T_{n-1}-2T_n}{\Delta x^2}=\frac{2\bigl(T_{n-1}-T_n\bigr)}{\Delta x^2}.
Agora inserimos isso na equação diferencial (com \mu^2):
\frac{2\bigl(T_{n-1}-T_n\bigr)}{\Delta x^2}-\mu^2\bigl(T_n-T_{\infty}\bigr)=0.

Passo 7

Multiplicando por \Delta x^2 e rearranjando obtemos a forma algébrica no nó n:
2T_{n-1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}-(2+\mu^2\Delta x^2)T_n=0.
E isolando T_n para uma forma explícita conveniente:
T_n=\frac{2T_{n-1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}}{2+\mu^2\Delta x^2}.
Observação prática: a equação do nó n tem coeficiente 2 na frente de T_{n-1} (ao contrário dos nós interiores, que têm coeficiente 1 para cada vizinho) por causa da condição de isolamento que faz o efeito do nó fantasma coincidir com o nó n-1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{T_{m-1}-2T_m+T_{m+1}}{\Delta x^2}-\mu^2\bigl(T_m-T_{\infty}\bigr)=0, com \displaystyle \mu^2=\frac{hP}{kA}, ou equivalentemente \displaystyle T_m=\frac{T_{m-1}+T_{m+1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}}{2+\mu^2\Delta x^2}.
(b) Para o nó isolado n: \displaystyle \frac{2\bigl(T_{n-1}-T_n\bigr)}{\Delta x^2}-\mu^2\bigl(T_n-T_{\infty}\bigr)=0, ou equivalentemente \displaystyle T_n=\frac{2T_{n-1}+\mu^2\Delta x^2 T_{\infty}}{2+\mu^2\Delta x^2}.

Exercícios relacionados