( 3,0 pontos) Ar entra em um duto com um Mach de 2,5 , temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 70 kPa . O duto possui um diâmetro de 2,0 \mathrm{~cm} e o escoamento é adiabático. Um choque ocorre no duto em uma localização onde o número de Mach é 2,0 . Se o número de Mach na saída do duto é de 1,0 e o coeficiente de atrito médio é de 0,005, determine:
a) A distância do choque até a entrada e o comprimento total do duto;
b) A pressão na saída do duto.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei esses números do enunciado):
  • Condições na entrada do duto:
    • Mach na entrada: M_{\mathrm{in}}=2,5.
    • Temperatura estática na entrada: T_{\mathrm{in}}=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão estática na entrada: p_{\mathrm{in}}=70\\ \mathrm{kPa}=70000\\ \mathrm{Pa}.
    • Diâmetro do duto: D=2,0\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • O escoamento é adiabático e com atrito (Fanno).
  • Coeficiente de atrito médio (f): f=0{,}005 (adimensional).
  • Um choque normal ocorre em uma posição onde o Mach antes do choque é M_{\text{pré-choque}}=2,0é.
  • Mach na saída do duto: M_{\mathrm{out}}=1{,}0.
  • Constantes para o ar (assumidas): razão dos calores \gamma=1{,}4 e R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O enunciado pede:
(a) A distância do choque até a entrada do duto (isto é, o comprimento entre entrada e a posição do choque) e o comprimento total do duto;
(b) A pressão estática na saída do duto.

Passo 2

Plano de resolução (só para organizar a sequência de cálculos; depois eu executo cada passo):
  • Usar conservação de massa para relacionar condições de entrada e saída e obter a pressão de saída a partir de M_{\mathrm{out}}.
  • Determinar o Mach imediatamente após o choque (uso das relações de choque normal).
  • Usar as relações de Fanno (escoamento adiabático com atrito em duto de área constante) para obter o comprimento necessário para ir de M_{\mathrm{in}} até M_{\text{pré-choque}}é (distância entrada → choque) e, em seguida, do Mach pós-choque até M_{\mathrm{out}}. A soma dá o comprimento total do duto.
    Agora vou desenvolver cada parte com as fórmulas e explicações necessárias.

Passo 3

Cálculos preliminares: área do duto e temperatura de estagnação.
  • Área do duto:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0001=0{,}000314159\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Temperatura de estagnação (para escoamento adiabático sem trabalho, T_{0} é constante ao longo do tubo, inclusive através do choque normal — energia total é conservada):
T_{0}=T_{\mathrm{in}}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_{\mathrm{in}}^{2}\right).
Substituindo T_{\mathrm{in}}=313{,}15\\ \mathrm{K}, \gamma=1{,}4, M_{\mathrm{in}}=2{,}5:
T_{0}=313{,}15\left(1+\frac{1{,}4-1}{2}\cdot 2{,}5^{2}\right) =313{,}15\left(1+0{,}2\cdot 6{,}25\right)=313{,}15\cdot 2{,}25=704{,}5875\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida (didática): T_{0} é a temperatura que o fluido teria se fosse trazido reversivelmente a repouso; para gás perfeito T_{0}=T(1+(\gamma-1)M^{2}/2). Em escoamento adiabático sem trabalho essa T_{0} permanece constante ao longo do conduto (mesmo com choque).

Passo 4

Calcular a vazão mássica ( \dot{m}) a partir das condições de entrada (conservação de massa). Isso é útil porque \dot{m} é constante ao longo do duto para escoamento estacionário.
  • Densidade na entrada:
\rho_{\mathrm{in}}=\frac{p_{\mathrm{in}}}{R T_{\mathrm{in}}}=\frac{70000}{287\cdot 313{,}15}\approx 0{,}7788\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Velocidade na entrada: V_{\mathrm{in}}=M_{\mathrm{in}}\sqrt{\gamma R T_{\mathrm{in}}}.
    Calculemos a velocidade do som em T_{\mathrm{in}}:
a_{\mathrm{in}}=\sqrt{\gamma R T_{\mathrm{in}}}=\sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 313{,}15}\approx 354{,}45\\ \mathrm{m/s}.
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V_{\mathrm{in}}=2{,}5\cdot 354{,}45\approx 886{,}12\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho_{\mathrm{in}} A V_{\mathrm{in}} \approx 0{,}7788\cdot 0{,}000314159\cdot 886{,}12 \approx 0{,}2166\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário didático: \dot{m} é simplesmente massa por tempo que atravessa a seção; conhecendo p,T,M na entrada é direto computar \rho e V, daí \dot m.

Passo 5

Cálculo da pressão de saída a partir de \dot{m} e das condições na saída.
  • Primeiro, calcular a temperatura estática na saída usando a temperatura de estagnação (que é constante):
T_{\mathrm{out}}=\frac{T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_{\mathrm{out}}^{2}} =\frac{704{,}5875}{1+0{,}2\cdot 1^{2}}=\frac{704{,}5875}{1{,}2}=587{,}15625\\ \mathrm{K}.
  • Velocidade na saída:
a_{\mathrm{out}}=\sqrt{\gamma R T_{\mathrm{out}}}\approx\sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 587{,}15625}\approx 485{,}79\\ \mathrm{m/s},
V_{\mathrm{out}}=M_{\mathrm{out}}\,a_{\mathrm{out}}=1{,}0\cdot 485{,}79=485{,}79\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade na saída pela continuidade:
\rho_{\mathrm{out}}=\frac{\dot{m}}{A V_{\mathrm{out}}} =\frac{0{,}2166}{0{,}000314159\cdot 485{,}79}\approx 1{,}419\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão estática na saída:
p_{\mathrm{out}}=\rho_{\mathrm{out}} R T_{\mathrm{out}} \approx 1{,}419\cdot 287\cdot 587{,}15625 \approx 239126\\ \mathrm{Pa}\approx 239{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Comentário didático: usar continuidade é uma forma simples e robusta de obter p_{\mathrm{out}} quando se conhece \dot m, T_{0} (para obter T via M) e M_{\mathrm{out}}.

Passo 6

Determinar o Mach imediatamente após o choque normal (relação de choque normal). Para um choque normal o Mach a jusante M_{2} (aqui M_{\text{pós-choque}}ó) é dado por
M_{2}^{2}=\frac{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-\dfrac{\gamma-1}{2}},
onde M_{1} é o Mach na ante‑câmara do choque (pré-choque). Usando M_{1}=2{,}0 e \gamma=1{,}4:
M_{2}^{2}=\frac{1+0{,}2\cdot 4}{1{,}4\cdot 4-0{,}2}=\frac{1{,}8}{5{,}4}=\frac{1}{3},
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M_{2}= \sqrt{\frac{1}{3}}\approx 0{,}57735.
Breve explicação: choque normal reduz fortemente M quando pré-choque é supersonico; o valor M_{2} é subsonico aqui, como esperado.

Passo 7

Relações de Fanno (escolhendo a fórmula conveniente para comprimento): para escoamento adiabático com atrito em duto de área constante existe uma função F(M) tal que, entre duas seções 1 e 2,
\frac{4fL}{D}=F(M_{1})-F(M_{2}),
onde
F(M)=\frac{1-M^{2}}{\gamma M^{2}}+\frac{\gamma+1}{2\gamma}\ln\!\left(\frac{(\gamma+1)M^{2}}{2+(\gamma-1)M^{2}}\right).
Aqui L é o comprimento entre as seções consideradas, f é o fator de atrito (Darcy), D o diâmetro, M o Mach local e \gamma a razão de calores. Essa relação nos fornece o comprimento necessário para que o Mach mude de um valor a outro devido ao atrito.
Explicação didática curta: Fanno descreve como atrito (sem troca de calor) altera o Mach ao longo de um duto de área constante; a função F(M) é tabulada ou calculável e a diferença de F entre dois pontos é proporcional ao comprimento real (pela relação acima).

Passo 8

Calcular F(M) nos pontos necessários e então os comprimentos.
Constantes numéricas úteis:
\frac{\gamma+1}{2\gamma}=\frac{2{,}4}{2{,}8}=0{,}857142857.
  1. F em M_{\mathrm{in}}=2{,}5:
\frac{1-M^{2}}{\gamma M^{2}}=\frac{1-2{,}5^{2}}{1{,}4\cdot 2{,}5^{2}}=\frac{1-6{,}25}{8{,}75}=\frac{-5{,}25}{8{,}75}=-0{,}6.
Termo logarítmico:
\ln\!\left(\frac{(\gamma+1)M^{2}}{2+(\gamma-1)M^{2}}\right) =\ln\!\left(\frac{2{,}4\cdot 6{,}25}{2+0{,}4\cdot 6{,}25}\right) =\ln\!\left(\frac{15}{4{,}5}\right)=\ln(3{,}3333333)\approx 1{,}2039728.
Multiplicando pelo fator:
0{,}857142857\cdot 1{,}2039728\approx 1{,}032.
Portanto
F(2{,}5)\approx -0{,}6+1{,}032=0{,}432.
  1. F em M_{\text{pré-choque}}=2{,}0é:
\frac{1-M^{2}}{\gamma M^{2}}=\frac{1-4}{1{,}4\cdot 4}=\frac{-3}{5{,}6}=-0{,}5357143.
Logaritmo:
\ln\!\left(\frac{2{,}4\cdot 4}{2+0{,}4\cdot 4}\right)=\ln\!\left(\frac{9{,}6}{3{,}6}\right)=\ln(2{,}6666667)\approx 0{,}9808293.
Multiplicando:
0{,}857142857\cdot 0{,}9808293\approx 0{,}8407.
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F(2{,}0)\approx -0{,}5357143+0{,}8407=0{,}3050\\ (\text{aprox.}).
  1. F no pós-choque M_{\text{pós}}=0{,}57735ó (valor exato \sqrt{1/3}):
M^{2}=\tfrac{1}{3}\approx 0{,}3333333.
\frac{1-M^{2}}{\gamma M^{2}}=\frac{1-0{,}3333333}{1{,}4\cdot 0{,}3333333}=\frac{0{,}6666667}{0{,}4666667}\approx 1{,}4285716.
Logaritmo:
\ln\!\left(\frac{2{,}4\cdot 0{,}3333333}{2+0{,}4\cdot 0{,}3333333}\right) =\ln\!\left(\frac{0{,}8}{2{,}1333333}\right)=\ln(0{,}375)\approx -0{,}981.
Multiplicando:
0{,}857142857\cdot(-0{,}981)\approx -0{,}8407.
Portanto
F(0{,}57735)\approx 1{,}4285716-0{,}8407=0{,}5879\\ (\text{aprox.}).
  1. F em M_{\mathrm{out}}=1{,}0: substituindo M=1 na fórmula dá F(1)=0 (verificação direta).

Passo 9

Usar a fórmula de Fanno para obter comprimentos.
  • Distância da entrada até o choque: usar M_{1}=M_{\mathrm{in}}=2{,}5 e M_{2}=M_{\text{pré-choque}}=2{,}0é.
\frac{4fL_{1}}{D}=F(2{,}5)-F(2{,}0)\approx 0{,}432-0{,}3050=0{,}1270.
Isolando L_{1}:
L_{1}=\frac{D}{4f}\big[\,F(2{,}5)-F(2{,}0)\,\big] =\frac{0{,}02}{4\cdot 0{,}005}\cdot 0{,}1270 =\frac{0{,}02}{0{,}02}\cdot 0{,}1270=0{,}1270\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância entrada → choque é aproximadamente 0{,}127\\ \mathrm{m}.
  • Distância do choque até a saída: usar M_{1}=M_{\text{pós-choque}}=0{,}57735ó e M_{2}=M_{\mathrm{out}}=1{,}0.
\frac{4fL_{2}}{D}=F(0{,}57735)-F(1)=0{,}5879-0=0{,}5879.
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L_{2}=\frac{D}{4f}\cdot 0{,}5879=\frac{0{,}02}{0{,}02}\cdot 0{,}5879=0{,}5879\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento total do duto:
L_{\mathrm{total}}=L_{1}+L_{2}=0{,}1270+0{,}5879=0{,}7149\\ \mathrm{m}\approx 0{,}715\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: a forma D/(4f) simplificou aqui porque 4fD^{-1}=4\cdot 0{,}005/0{,}02=1, o que deixou os cálculos numéricos bem diretos.

Passo 10

Resumo final dos resultados numéricos (arredondamentos razoáveis):
  • Distância do choque até a entrada: L_{1}\approx 0{,}127\\ \mathrm{m} (≈ 12,7 cm).
  • Comprimento total do duto: L_{\mathrm{total}}\approx 0{,}715\\ \mathrm{m} (≈ 71,5 cm).
  • Pressão na saída: p_{\mathrm{out}}\approx 239{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Uma palavra de incentivo: ótimos passos — você fez direitinho acompanhando a física por trás (Fanno + choque + continuidade). Se quiser, eu refaço com mais casas decimais ou verifico sensibilidade quando trocar f ou D.

Resposta

(a) Distância do choque até a entrada: 0{,}127\\ \mathrm{m}; comprimento total do duto: 0{,}715\\ \mathrm{m}
(b) p_{\mathrm{out}}=239{,}1\\ \mathrm{kPa}

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