( 3,0 pontos) Ar entra em um duto com um Mach de 2,5 , temperatura de
e pressão de 70 kPa . O duto possui um diâmetro de
e o escoamento é adiabático. Um choque ocorre no duto em uma localização onde o número de Mach é 2,0 . Se o número de Mach na saída do duto é de 1,0 e o coeficiente de atrito médio é de 0,005, determine:
a) A distância do choque até a entrada e o comprimento total do duto;
b) A pressão na saída do duto.
a) A distância do choque até a entrada e o comprimento total do duto;
b) A pressão na saída do duto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei esses números do enunciado):
- Condições na entrada do duto:
- Mach na entrada:
. - Temperatura estática na entrada:
. - Pressão estática na entrada:
. - Diâmetro do duto:
.
- Mach na entrada:
- O escoamento é adiabático e com atrito (Fanno).
- Coeficiente de atrito médio (f):
(adimensional). - Um choque normal ocorre em uma posição onde o Mach antes do choque é
. - Mach na saída do duto:
. - Constantes para o ar (assumidas): razão dos calores
e .
O enunciado pede:
(a) A distância do choque até a entrada do duto (isto é, o comprimento entre entrada e a posição do choque) e o comprimento total do duto;
(b) A pressão estática na saída do duto.
(a) A distância do choque até a entrada do duto (isto é, o comprimento entre entrada e a posição do choque) e o comprimento total do duto;
(b) A pressão estática na saída do duto.
Passo 2
Plano de resolução (só para organizar a sequência de cálculos; depois eu executo cada passo):
- Usar conservação de massa para relacionar condições de entrada e saída e obter a pressão de saída a partir de
. - Determinar o Mach imediatamente após o choque (uso das relações de choque normal).
- Usar as relações de Fanno (escoamento adiabático com atrito em duto de área constante) para obter o comprimento necessário para ir de
até (distância entrada → choque) e, em seguida, do Mach pós-choque até . A soma dá o comprimento total do duto.
Agora vou desenvolver cada parte com as fórmulas e explicações necessárias.
Passo 3
Cálculos preliminares: área do duto e temperatura de estagnação.
- Área do duto:
- Temperatura de estagnação (para escoamento adiabático sem trabalho,
é constante ao longo do tubo, inclusive através do choque normal — energia total é conservada):
Substituindo
,
,
:
Explicação rápida (didática):
é a temperatura que o fluido teria se fosse trazido reversivelmente a repouso; para gás perfeito
. Em escoamento adiabático sem trabalho essa
permanece constante ao longo do conduto (mesmo com choque).
Passo 4
Calcular a vazão mássica (
) a partir das condições de entrada (conservação de massa). Isso é útil porque
é constante ao longo do duto para escoamento estacionário.
- Densidade na entrada:
- Velocidade na entrada:
.
Calculemos a velocidade do som em:
Logo
- Vazão mássica:
Comentário didático:
é simplesmente massa por tempo que atravessa a seção; conhecendo
na entrada é direto computar
e
, daí
.
Passo 5
Cálculo da pressão de saída a partir de
e das condições na saída.
- Primeiro, calcular a temperatura estática na saída usando a temperatura de estagnação (que é constante):
- Velocidade na saída:
- Densidade na saída pela continuidade:
- Pressão estática na saída:
Comentário didático: usar continuidade é uma forma simples e robusta de obter
quando se conhece
,
(para obter
via
) e
.
Passo 6
Determinar o Mach imediatamente após o choque normal (relação de choque normal). Para um choque normal o Mach a jusante
(aqui
) é dado por
onde
é o Mach na ante‑câmara do choque (pré-choque). Usando
e
:
logo
Breve explicação: choque normal reduz fortemente
quando pré-choque é supersonico; o valor
é subsonico aqui, como esperado.
Passo 7
Relações de Fanno (escolhendo a fórmula conveniente para comprimento): para escoamento adiabático com atrito em duto de área constante existe uma função
tal que, entre duas seções 1 e 2,
onde
Aqui
é o comprimento entre as seções consideradas,
é o fator de atrito (Darcy),
o diâmetro,
o Mach local e
a razão de calores. Essa relação nos fornece o comprimento necessário para que o Mach mude de um valor a outro devido ao atrito.
Explicação didática curta: Fanno descreve como atrito (sem troca de calor) altera o Mach ao longo de um duto de área constante; a função
é tabulada ou calculável e a diferença de
entre dois pontos é proporcional ao comprimento real (pela relação acima).
Passo 8
Calcular
nos pontos necessários e então os comprimentos.
Constantes numéricas úteis:
-
em :
Termo logarítmico:
Multiplicando pelo fator:
Portanto
-
em :
Logaritmo:
Multiplicando:
Logo
-
no pós-choque (valor exato ):
Logaritmo:
Multiplicando:
Portanto
-
em : substituindo na fórmula dá (verificação direta).
Passo 9
Usar a fórmula de Fanno para obter comprimentos.
- Distância da entrada até o choque: usar
e .
Isolando
:
Portanto a distância entrada → choque é aproximadamente
.
- Distância do choque até a saída: usar
e .
Logo
- Comprimento total do duto:
Comentário prático: a forma
simplificou aqui porque
, o que deixou os cálculos numéricos bem diretos.
Passo 10
Resumo final dos resultados numéricos (arredondamentos razoáveis):
- Distância do choque até a entrada:
(≈ 12,7 cm). - Comprimento total do duto:
(≈ 71,5 cm). - Pressão na saída:
.
Uma palavra de incentivo: ótimos passos — você fez direitinho acompanhando a física por trás (Fanno + choque + continuidade). Se quiser, eu refaço com mais casas decimais ou verifico sensibilidade quando trocar
ou
.
Resposta
(a) Distância do choque até a entrada:
; comprimento total do duto:
(b)
(b)