( 3,0 pontos) Um tanque de ar a 20^{\circ} \mathrm{C} deve abastecer um astronauta por meio de um tubo de 12 metros de comprimento de 1,5 \mathrm{~cm} de diâmetro. A pressão na saída do tubo é de 40 kPa . Se a vazão em massa desejada é de 90 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e \mathrm{f}=0,025, qual deve ser a pressão no tanque?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão no tanque (pressão na entrada do tubo):
  • Temperatura do ar: \,T=20^\circ\mathrm{C} (ou seja \,T=293{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Comprimento do tubo: \,L=12\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo: \,D=1{,}5\\ \mathrm{cm} = 0,015\\ \mathrm{m}.
  • Pressão na saída do tubo (no astronauta): \,p_2=40\\ \mathrm{kPa} = 40\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Vazão mássica desejada: \,\dot{m}=90\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fator de atrito (Darcy): \,f=0{,}025.
O que se pede: encontrar a pressão no tanque (pressão na entrada do tubo), denotada por \,p_1 (presumivelmente pressão absoluta).

Passo 2

Planejamento e hipóteses (sem começar a resolver ainda):
  • Vamos assumir fluxo estacionário unidimensional e que a temperatura do gás permanece praticamente constante ao longo do tubo (fluxo isotérmico). Essa é uma hipótese razoável para um tubo curto à temperatura ambiente.
  • Vamos considerar perdas por atrito distribuídas (Darcy–Weisbach) e desprezar alterações de carga por elevações ou perdas de singularidade (conexões), já que o enunciado só fornece \,f.
  • Usaremos a equação de continuidade e a fórmula de perda de pressão local por atrito no elemento diferencial do tubo para obter uma relação integrável entre \,p e \,x.
Agora as fórmulas fundamentais que vamos usar (explicando cada termo):
  • Área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde \,D é o diâmetro interno e \,A tem dimensão de \mathrm{m}^2.
  • Continuidade (vazão mássica constante ao longo do tubo):
\dot{m}=\rho V A,
onde \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}), \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}) e V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}).
  • Fórmula de perda de pressão por atrito (forma diferencial):
\frac{dp}{dx}=-\,\frac{f}{2D}\,\rho V^2,
onde p é a pressão (Pa), x é a coordenada ao longo do tubo (m) e f é o fator de atrito (Darcy).
  • Equação de estado do gás ideal, sob isoterma:
\rho=\frac{p}{R T},
onde R é a constante específica do ar ( R\approx287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e T a temperatura absoluta.
Essas fórmulas permitem eliminar \rho e V para obter uma equação diferencial apenas em função de p e x, que pode ser integrada ao longo do comprimento do tubo.

Passo 3

Derivação matemática passo a passo (mostrando como chegar à fórmula que relaciona \,p_1 e \,p_2):
  1. Da continuidade:
V=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
  1. Substituindo \,V em \,\rho V^2:
\rho V^2=\rho\left(\frac{\dot{m}}{\rho A}\right)^2=\frac{\dot{m}^2}{\rho A^2}.
  1. Substituindo isso na equação de perda de pressão:
\frac{dp}{dx}=-\frac{f}{2D}\,\frac{\dot{m}^2}{\rho A^2}.
  1. Substituir \,\rho=\dfrac{p}{R T}:
\frac{dp}{dx}=-\frac{f}{2D}\,\frac{\dot{m}^2}{(p/(R T)) A^2} =-\left(\frac{f R T\,\dot{m}^2}{2D A^2}\right)\frac{1}{p}.
Defina a constante
C=\frac{f R T\,\dot{m}^2}{2D A^2},
então
\frac{dp}{dx}=-\frac{C}{p}.
  1. Integrar de x=0 até x=L e de p=p_1 até p=p_2:
\int_{p_1}^{p_2} p\,dp = -\int_0^{L} C\,dx.
A integral dá
\frac{1}{2}\bigl(p_2^2-p_1^2\bigr) = -C L
ou reorganizando
p_1^2 = p_2^2 + 2 C L.
  1. Substituir C:
p_1^2 = p_2^2 + \frac{f R T\,\dot{m}^2\,L}{D A^2}.
Essa é a expressão final que usaremos para calcular \,p_1.
Observação didática curta: a integração deu uma relação em termos de p^2 porque a dependência de \,dp/dx com 1/p integra para \,p^2. Isso é típico do escoamento isotérmico com atrito quando expressamos a equação em termos de pressão.

Passo 4

Cálculos numéricos (passo a passo; façamos todas as conversões):
  1. Converter a vazão mássica para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}=\frac{90\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}025\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}015)^2}{4} \approx 0{,}0001767146\\ \mathrm{m^2}.
  1. Valores numéricos a usar:
f=0{,}025,\quad L=12\\ \mathrm{m},\quad D=0{,}015\\ \mathrm{m},
\dot{m}=0{,}025\\ \mathrm{kg/s},\quad R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \quad T=293{,}15\\ \mathrm{K},
p_2=40\,000\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular o termo adicional \displaystyle \frac{f R T\,\dot{m}^2\,L}{D A^2}:
Primeiro calcule \dot{m}^2=(0{,}025)^2=0{,}000625.
Agora numerador:
f R T\,\dot{m}^2\,L =0{,}025\times287\times293{,}15\times0{,}000625\times12 \approx 15{,}78\quad(\text{unidade: Pa}^2\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{m}^2 \text{ efetivamente } \mathrm{Pa}^2).
Denominador:
D A^2 =0{,}015\times(0{,}0001767146)^2 \approx 4{,}684\times10^{-10}\\ \mathrm{m^3}.
Dividindo:
\frac{f R T\,\dot{m}^2\,L}{D A^2} \approx \frac{15{,}78}{4{,}684\times10^{-10}} \approx 3{,}37\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}^2.
  1. Agora calcule p_1:
p_1^2 = p_2^2 + 3{,}37\times10^{10}.
Como p_2^2=(40\,000)^2=1{,}6\times10^{9} (comparativamente menor),
p_1^2 \approx 3{,}37\times10^{10}+1{,}6\times10^{9}=3{,}53\times10^{10}.
Logo
p_1\approx\sqrt{3{,}53\times10^{10}}\approx1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Converter para \mathrm{kPa}:
p_1\approx188\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Interpretação e comentários finais (curtos, motivacionais):
  • O resultado é a pressão absoluta necessária no tanque para garantir \,90\\ \mathrm{kg/h} saindo a \,40\\ \mathrm{kPa} depois de 12 m de tubo com o atrito dado.
  • A hipótese de fluxo isotérmico e desprezo de perdas singulares foi usada; se houver muitas conexões, válvulas ou mudanças de seção, a pressão necessária aumentaria.
  • Bom trabalho! Esse tipo de manipulação (continuidade + Darcy + estado do gás) é padrão em problemas de distribuição de ar comprimido — repita os passos para fixar.

Resposta

\;p_{\text{tanque}}\approx188\\ \mathrm{kPa}

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