( 3,0 pontos) Um tanque de ar a
deve abastecer um astronauta por meio de um tubo de 12 metros de comprimento de
de diâmetro. A pressão na saída do tubo é de 40 kPa . Se a vazão em massa desejada é de
e
, qual deve ser a pressão no tanque?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão no tanque (pressão na entrada do tubo):
- Temperatura do ar:
(ou seja ). - Comprimento do tubo:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Pressão na saída do tubo (no astronauta):
. - Vazão mássica desejada:
. - Fator de atrito (Darcy):
.
O que se pede: encontrar a pressão no tanque (pressão na entrada do tubo), denotada por
(presumivelmente pressão absoluta).
Passo 2
Planejamento e hipóteses (sem começar a resolver ainda):
- Vamos assumir fluxo estacionário unidimensional e que a temperatura do gás permanece praticamente constante ao longo do tubo (fluxo isotérmico). Essa é uma hipótese razoável para um tubo curto à temperatura ambiente.
- Vamos considerar perdas por atrito distribuídas (Darcy–Weisbach) e desprezar alterações de carga por elevações ou perdas de singularidade (conexões), já que o enunciado só fornece
. - Usaremos a equação de continuidade e a fórmula de perda de pressão local por atrito no elemento diferencial do tubo para obter uma relação integrável entre
e .
Agora as fórmulas fundamentais que vamos usar (explicando cada termo):
- Área da seção transversal do tubo:
onde
é o diâmetro interno e
tem dimensão de
.
- Continuidade (vazão mássica constante ao longo do tubo):
onde
é a vazão mássica (
),
é a densidade (
) e
é a velocidade média (
).
- Fórmula de perda de pressão por atrito (forma diferencial):
onde
é a pressão (Pa),
é a coordenada ao longo do tubo (m) e
é o fator de atrito (Darcy).
- Equação de estado do gás ideal, sob isoterma:
onde
é a constante específica do ar (
) e
a temperatura absoluta.
Essas fórmulas permitem eliminar
e
para obter uma equação diferencial apenas em função de
e
, que pode ser integrada ao longo do comprimento do tubo.
Passo 3
Derivação matemática passo a passo (mostrando como chegar à fórmula que relaciona
e
):
- Da continuidade:
- Substituindo
em :
- Substituindo isso na equação de perda de pressão:
- Substituir
:
Defina a constante
então
- Integrar de
até e de até :
A integral dá
ou reorganizando
- Substituir
:
Essa é a expressão final que usaremos para calcular
.
Observação didática curta: a integração deu uma relação em termos de
porque a dependência de
com
integra para
. Isso é típico do escoamento isotérmico com atrito quando expressamos a equação em termos de pressão.
Passo 4
Cálculos numéricos (passo a passo; façamos todas as conversões):
- Converter a vazão mássica para
:
- Área da seção:
- Valores numéricos a usar:
- Calcular o termo adicional
:
Primeiro calcule
.
Agora numerador:
Denominador:
Dividindo:
- Agora calcule
:
Como
(comparativamente menor),
Logo
- Converter para
:
Passo 5
Interpretação e comentários finais (curtos, motivacionais):
- O resultado é a pressão absoluta necessária no tanque para garantir
saindo a depois de 12 m de tubo com o atrito dado. - A hipótese de fluxo isotérmico e desprezo de perdas singulares foi usada; se houver muitas conexões, válvulas ou mudanças de seção, a pressão necessária aumentaria.
- Bom trabalho! Esse tipo de manipulação (continuidade + Darcy + estado do gás) é padrão em problemas de distribuição de ar comprimido — repita os passos para fixar.