7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
Passo 1
O problema é achar a solução em série de potências da PVI
em torno de
. Vamos usar o Método de Taylor: escrever
calcular as derivadas em
via a equação diferencial e montar a série.
Passo 2
Escrevendo
a condição inicial dá
Para
, da equação
vem
logo
.
Passo 3
Para achar os coeficientes
, expandimos
como série em potências de
. Primeiro note que
então
Escrevendo
, tem-se
. Se
, a expansão de
até
é
Passo 4
Agora igualamos a expansão de
e de
:
deve ser
Comparando coeficiente a coeficiente:
– :
(já achado).
– :
.
– :
.
– :
.
– :
.
–
–
–
–
–