7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
y^prime=sen(x^2+y), y(0)=pi / 2

Passo 1

O problema é achar a solução em série de potências da PVI
y'=sinl(x^2+yr), y(0)=pi2
em torno de x=0. Vamos usar o Método de Taylor: escrever
y(x)=sumn=0^infty an,x^n,
calcular as derivadas em 0 via a equação diferencial e montar a série.

Passo 2

Escrevendo
y(x)=sumn=0^infty an,x^n Longrightarrow y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1,
a condição inicial dá
a0=y(0)=pi2
Para x=0, da equação y'=sin(x^2+y) vem
y'(0)=a1=sin!l(0^2+a0r)=sin!l(tfracpi2r)=1,
logo a1=1.

Passo 3

Para achar os coeficientes a2,a3,a4,dots, expandimos
sinl(x^2+y(x)r)
como série em potências de x. Primeiro note que
y(x)=pi2+1cdot x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+cdots,
então
u=x^2+y(x) =pi2 + x + (1+a2),x^2 + a3,x^3 + a4,x^4+cdots
Escrevendo u=pi2+v, tem-se sin(u)=cos(v). Se v=x+x^2+a3x^3+a4x^4+cdots, a expansão de cos(v) até x^4 é
cos(v) =1-tfrac12v^2+tfrac124v^4+cdots =1-x^22-x^3-724x^4+cdots

Passo 4

Agora igualamos a expansão de y' e de sin(x^2+y):
y'(x) = a1 + 2a2,x + 3a3,x^2 + 4a4,x^3 + 5a5,x^4+cdots
deve ser
1 -12x^2 -x^3 -724x^4+cdots
Comparando coeficiente a coeficiente:
x^0: a1=1 (já achado).
x^1: 2a2=0 ,Rightarrow a2=0.
x^2: 3a3=-tfrac12 ,Rightarrow a3=-tfrac16.
x^3: 4a4=-1 ,Rightarrow a4=-tfrac14.
x^4: 5a5=-tfrac724 ,Rightarrow a5=-tfrac7120.

Resposta

boxed y(x) =pi2 + x -x^36 -x^44 -7,x^5120 + O(x^6)

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