Exercício 16. (Apostol seção 2.12 exercício 5) Seja
a transformação linear definida na base canônica
de
da seguinte forma:
- Calcule
e determine a dimensão do núcleo e da imagem de
.
- Determine a matriz de
em relação a base canônica.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
na base canônica
pelas condições
Precisamos calcular
, determinar
e
, e encontrar a matriz de
na base canônica.
Passo 2
Usando linearidade, extraímos
e
:
Em seguida,
logo
Passo 3
Para
usamos
Substituindo:
temos
ou seja
.
Passo 4
A matriz de
na base canônica tem colunas
. Seu determinante é
logo
rankT=3 . Pelo teorema da dimensão,
e como
dimImT=3 , segue
dimker T=0 .
Passo 5
A matriz de
T na base canônica
(i,j,k) é
onde as colunas são respectivamente
T(i) ,
T(j) ,
T(k) .