Exercício 16. (Apostol seção 2.12 exercício 5) Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida na base canônica B=(i, j, k) de R^3 da seguinte forma:
T(k)=2 i+3 j+5 k T(j+k)=i T(i+j+k)=j-k
  1. Calcule T(i+2 j+3 k) e determine a dimensão do núcleo e da imagem de T.
  2. Determine a matriz de T em relação a base canônica.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:R^3toR^3 na base canônica B=(i,j,k) pelas condições
T(k)=2,i+3,j+5,k, T(j+k)=i, T(i+j+k)=j-k
Precisamos calcular T(i+2j+3k), determinar dimker T e dimImT, e encontrar a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Usando linearidade, extraímos T(j) e T(i):
T(j+k)=T(j)+T(k)=i Longrightarrow T(j)=i-T(k)=i-(2i+3j+5k)=-i-3j-5k
Em seguida,
T(i+j+k)=T(i)+T(j)+T(k)=j-k
logo
T(i)= (j-k)-T(j)-T(k) = (j-k)-l[-i-3j-5kr]-(2i+3j+5k) =-i+j-k

Passo 3

Para T(i+2j+3k) usamos
T(i+2j+3k)=T(i)+2,T(j)+3,T(k)
Substituindo:
T(i)=(-1,1,-1),; T(j)=(-1,-3,-5),; T(k)=(2,3,5),
temos
T(i+2j+3k) =(-1,1,-1)+2(-1,-3,-5)+3(2,3,5) =(3,4,4),
ou seja 3,i+4,j+4,k.

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas l[T(i),T(j),T(k)r]. Seu determinante é
det -1 & -1 & 2 1 & -3 & 3 -1 & -5 & 5 =-8neq0,
logo rankT=3. Pelo teorema da dimensão,
dimker T+dimImT=3,
e como dimImT=3, segue dimker T=0.

Passo 5

A matriz de T na base canônica (i,j,k) é
[T] B= -1 & -1 & 2 1 & -3 & 3 -1 & -5 & 5 ,
onde as colunas são respectivamente T(i), T(j), T(k).

Resposta

T(i+2j+3k)=3,i+4,j+4,k.
dimker T=0, dimImT=3.
[T] B= -1 & -1 & 2 1 & -3 & 3 -1 & -5 & 5

Exercícios relacionados