7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
y^prime=x y^2+1, y(1)=1

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial com condição inicial
y' = x,y^2 + 1, y(1)=1
usando série de potências em torno de x0=1.
Vamos procurar
y(x)=sumn=0^inftyan,(x-1)^n
e determinar os coeficientes an usando a equação diferencial e y(1)=a0=1.

Passo 2

Escrevemos a derivada em série e também y^2. Seja z=x-1, então
y = sumn=0^infty an,z^n, y' = dydx = sumn=1^infty n,an,z^,n-1 = sumn=0^infty (n+1),an+1,z^n
Para y^2 usamos a convolução dos coeficientes:
y^2 = l(sumi=0^infty ai z^ir)l(sumj=0^infty aj z^jr) = sumn=0^inftyl(sumk=0^n ak,an-kr)z^n

Passo 3

Agora montamos x,y^2+1=(1+z),y^2+1. Se escrevemos
y^2 = sumn=0^infty cn,z^n, cn=sumk=0^n ak,an-k,
então
x,y^2 = (1+z)sumn=0^infty cn,z^n = sumn=0^infty cn,z^n + sumn=0^infty cn,z^n+1 = sumn=0^infty dn,z^n
com
d0 = c0, dn = cn + cn-1(n>=1)
Por fim x,y^2+1 = sumn=0^infty dn,z^n +1, ou seja o termo constante fica d0+1.

Passo 4

Igualamos termo a termo com y':
sumn=0^infty (n+1),an+1,z^n = sumn=0^infty l(dn + de<an0r),z^n,
onde de<an0=1 só no n=0. Logo a relação de recorrência é
(n+1),an+1 = dn + de<an0
Começando por a0=y(1)=1, temos
c0 = a0^2 =1 d0 = c0 =1
n =0: 1cdot a1 = d0 +1=2Rightarrow a1 =2
n =1: 2cdot a2 = d1 = c1 + c0 = 2a1 +1=2cdot 2+1=5Rightarrow a2 =5/ 2
n =2: 3cdot a3 = d2 = c2 + c1 = ( 2a2 + a1^2) +( 2a1) = ( 2cdot 5/ 2+4) +( 4) =5+4+4=13Rightarrow a3 =13/ 3
n =3: 4cdot a4 = d3 = c3 + c2 = ( 2a3 + 2a1a2) +( 2a2 + a1^2)
= ( 2cdot 13/ 3+2cdot 2cdot 5/ 2) +( 2cdot 5/ 2+4)
=26/ 3+10+5+4=83/ 3Rightarrow a4 =83/ 12
n =4: 5cdot a5 = d4 = c4 + c3 = ( 2a4 + 2a1a3 + a2^2) +( 2a3 + 2a1a2)
=83/ 6+52/ 3+25/ 4+26/ 3+10=673/ 12Rightarrow a5 =673/ 60

Passo 5

Assim, os primeiros termos da solução em série são
y(x)=sumn=0^infty an,(x-1)^n =1+2,(x-1)+52(x-1)^2+133(x-1)^3+8312(x-1)^4+67360(x-1)^5+cdots

Resposta

y(x)=1+2(x-1)+52(x-1)^2+133(x-1)^3+8312(x-1)^4+67360(x-1)^5+cdots

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