Calcule:
lim x +infty(1+2x)^x,

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+2xr)^x
O conteúdo é limite de tipo exponencial do tipo (1+tfracax)^x. Vamos usar a técnica de tomar logaritmo natural para transformar a potência em um produto.

Passo 2

Definimos
y = l(1+2xr)^x
Para estudar o comportamento de y quando xto+infty, tomamos o logaritmo natural:
ln y = x ,ln!l(1+2xr)

Passo 3

Calculamos o limite de ln y:
limxto+inftyln y = limxto+infty x,ln!l(1+2xr)
Reescrevendo como razão, seja u=2/x, então uto0 e
x,ln!l(1+2xr) = ln(1+u)ucdot 2
Como sabemos que
limuto0ln(1+u)u=1,
segue que
limxto+infty x,ln!l(1+2xr)=2

Passo 4

Como limxto+inftyln y = 2, concluímos que
limxto+inftyy = limxto+inftye^ln y = e^2

Resposta

e^2

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