Obtenha a série de Taylor da função f(x)= sen x em torno de a=pi.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=sen x em torno de a=pi. Para isso vamos usar o conceito de série de Taylor, que expressa uma função como soma infinita de termos envolvendo as derivadas em a.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!,(x-a)^n
No nosso caso a=pi.

Passo 3

Precisamos das derivadas de sen x avaliadas em x=pi. Sabendo que
f(x)&=sen x, f'(x)&=cos x, f''(x)&=-sen x, f'''(x)&=-cos x, f^(4)(x)&=sen x,
e que tudo se repete a cada 4 derivações, temos
f(pi)&=senpi=0, f'(pi)&=cospi=-1, f''(pi)&=-senpi=0, f'''(pi)&=-cospi=1,
e assim por diante. Observe que somente as derivadas de ordem ímpar são não nulas, alternando sinais.

Passo 4

Agrupando apenas os termos ímpares na soma, escrevemos
sen x =sumk=0^inftyf^(2k+1)(pi)(2k+1)!(x-pi)^2k+1
Como f^(2k+1)(pi)=(-1)^k+1, isso vira
sen x =sumk=0^infty(-1)^k+1(x-pi)^2k+1(2k+1)! =-,(x-pi)+(x-pi)^33!-(x-pi)^55!+cdots

Resposta

sen x =sumk=0^infty(-1)^k+1(x-pi)^2k+1(2k+1)! =-,(x-pi)+(x-pi)^33!-(x-pi)^55!+cdots

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