Obtenha a série de Taylor da função
sen
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
. Para isso vamos usar o conceito de série de Taylor, que expressa uma função como soma infinita de termos envolvendo as derivadas em
.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de uma função
em torno de
é
No nosso caso
.
Passo 3
Precisamos das derivadas de
avaliadas em
. Sabendo que
e que tudo se repete a cada 4 derivações, temos
e assim por diante. Observe que somente as derivadas de ordem ímpar são não nulas, alternando sinais.
Passo 4
Agrupando apenas os termos ímpares na soma, escrevemos
Como
, isso vira