Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por 1, x, e^x.

Passo 1

O enunciado pede a representação matricial da derivação
,D:Vto V, ,D(f)=tfracdfdx, no espaço vetorial
V=span1,x,e^x, tomando a base natural
B=(1,x,e^x). Depois devemos obter também a matriz de D^2.

Passo 2

Calculamos D nos vetores da base e escrevemos cada resultado em coordenadas na base B:
D(1)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D(x)=1=1cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D(e^x)=e^x=0cdot1+0cdot x+1cdot e^x

Passo 3

Da expressão acima, as colunas da matriz de D em B são os vetores de coordenadas de D(1), D(x) e D(e^x). Logo,
[D]B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Para D^2, aplicamos D duas vezes à base e expressamos em coordenadas:
D^2(1)=D(0)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D^2(x)=D(1)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D^2(e^x)=D(e^x)=e^x=0cdot1+0cdot x+1cdot e^x

Passo 5

As colunas da matriz de D^2 em B são os vetores de coordenadas de D^2(1), D^2(x) e D^2(e^x). Assim,
[D^2]B = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

[D]B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , [D^2]B = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

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