Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais gerados pelas funções abaixo. Definamos como . Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço , ache a matriz que representa e nos seguintes casos: é gerado por .
Passo 1
O enunciado pede a representação matricial da derivação , , no espaço vetorial , tomando a base natural . Depois devemos obter também a matriz de .
Passo 2
Calculamos nos vetores da base e escrevemos cada resultado em coordenadas na base :
Passo 3
Da expressão acima, as colunas da matriz de em são os vetores de coordenadas de , e . Logo,
Passo 4
Para D^2, aplicamos D duas vezes à base e expressamos em coordenadas:
D^2(1)=D(0)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D^2(x)=D(1)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot e^x,
D^2(e^x)=D(e^x)=e^x=0cdot1+0cdot x+1cdot e^x
Passo 5
As colunas da matriz de D^2 em B são os vetores de coordenadas de D^2(1), D^2(x) e D^2(e^x). Assim,