3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(d) integral0^1 integral0^1 d x d yraizx y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1integral0^1 dx,dyraizx,y
Aqui o integrando 1raizx,y é não-negativo e singular em x=0 e y=0, então vamos usar o Teorema de Tonelli para não-negativos, que permite trocar ordem e separar o produto.

Passo 2

Pela separabilidade do integrando, temos
integral0^1integral0^1 dx,dyraizx,y =l(integral0^1 x^-tfrac12dxr), l(integral0^1 y^-tfrac12dyr)

Passo 3

Vamos calcular a integral genérica
integral0^1 t^-tfrac12dt
Uma antiderivada de t^-tfrac12 é
integral t^-tfrac12dt =2,t^tfrac12+C
Avaliado de 0 a 1 isso dá
l[2,t^tfrac12r]0^1 =2cdot1-2cdot0=2

Passo 4

Cada uma das integrais separadas vale 2. Portanto o valor da integral dupla é
2times2=4

Resposta

O valor da integral imprópria é 4.

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