3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(e) integral0^infty integral0^infty x^2 e^-x^2-y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^inftyintegral0^inftyx^2e^-x^2-y^2,dx,dy
Trata-se de uma integral imprópria dupla de função positiva. Pelo teorema de Fubini podemos separá-la em produto de duas integrais simples. Para isso vamos usar a integral gaussiana
integral0^inftye^-t^2dt
e a definição da função Gamma.

Passo 2

Aplicando Fubini e fatorando o integrando, obtemos
integral0^inftyintegral0^inftyx^2e^-x^2-y^2,dx,dy =l(integral0^inftyx^2e^-x^2,dxr),l(integral0^inftye^-y^2,dyr)

Passo 3

Para
integral0^inftyx^2e^-x^2,dx
fazemos a substituição t=x^2, dt=2x,dx, o que dá
integral0^inftyx^2e^-x^2,dx =12integral0^inftyt^1/2e^-t,dt =12,Gamma!l(tfrac32r)
Como Gamma(tfrac32)=tfracraizpi2, vem
integral0^inftyx^2e^-x^2,dx =12cdotraizpi2 =raizpi4

Passo 4

Já sabemos que
integral0^inftye^-y^2,dy=raizpi2

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
raizpi4timesraizpi2 =pi8

Resposta

pi8

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