3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(c) integral duplax^2+y^2 <= 1 ln raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral duplax^2+y^2<=1lnraizx^2+y^2;dx,dy
O conteúdo principal é o uso de coordenadas polares para integrar sobre um disco, lidando com a singularidade em r=0. Vamos substituir
x = rcostheta, y = rsintheta
e usar o Jacobiano dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
raizx^2+y^2 = r,
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lnraizx^2+y^2 = ln r
e o domínio (x,y)mid x^2+y^2<=1 vira
0<= r<=1, 0<= theta<=2pi
Assim a integral original fica
integral duplaDlnraizx^2+y^2,dx,dy =integral0^2pi!!integral0^1(ln r),r,dr,dtheta

Passo 3

Como a parte angular não depende de r, separamos as integrais:
integral0^2pidtheta;integral0^1rln r,dr =2piintegral0^1rln r,dr

Passo 4

Calculemos
I=integral0^1rln r,dr
por integração por partes. Tomemos
u=ln r, dv=r,dr,
então
du=drr, v=r^22
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I =[r^22ln r]0^1 -integral0^1r^22cdot1r,dr =l(0-0r)-12integral0^1r,dr =-12cdot12 =-14

Passo 5

Substituindo em 2pi I, obtemos
2piintegral0^1rln r,dr =2pi(-14) =-pi2

Resposta

-pi2

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