3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(g) integral duplaR^2 e^-x^2-y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral duplaR^2 e^-x^2-y^2 ,dx,dy
Trata-se de uma função radial (depende de x^2+y^2), então a forma mais natural é usar coordenadas polares.

Passo 2

Fazendo a mudança
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
e observando que R^2 vira rin[0,infty) e thetain[0,2pi], nossa integral fica
integral duplaR^2 e^-x^2-y^2 ,dx,dy = integral0^2pi!integral0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para a parte radial, use u=r^2, de modo que du=2r,dr e r,dr=du2. Então
integral0^infty e^-r^2,r,dr = 12integral0^infty e^-u,du = 12

Passo 4

Substituindo no integral em theta:
integral0^2pi dtheta ;times;12 = 2picdot12 = pi
Logo, a integral imprópria converge para pi.

Resposta

pi

Exercícios relacionados