3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria no quadrado unitário
que tem singularidade ao longo da reta . O conteúdo aqui é tratamento de integrais múltiplas impróprias: vamos usar a simetria da região e dividir o domínio em duas partes para remover o valor absoluto.
Passo 2
Dividimos o quadrado em duas regiões:
— Região : , onde .
— Região : , onde .
Como a integranda depende só de , as duas integrais são iguais. Assim
Passo 3
Na região fixamos e fazemos a integral em de até :
Use a substituição , de modo que e, quando , ; quando , . Logo
Passo 4
Agora integramos em x de 0 a 1:
integral duplaR1dx,dyraizx-y =integral0^1l(2raizxr),dx =2integral0^1x^tfrac12,dx =2cdot23,x^tfrac32vert0^1 =43