3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(h) integral0^1 integral0^1 d x d yraiz|x-y|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria no quadrado unitário
I ;=;integral0^1!!integral0^1dx,dyraizlvert x - yrvert,
que tem singularidade ao longo da reta x=y. O conteúdo aqui é tratamento de integrais múltiplas impróprias: vamos usar a simetria da região e dividir o domínio em duas partes para remover o valor absoluto.

Passo 2

Dividimos o quadrado [0,1]times[0,1] em duas regiões:
— Região R1: 0<= y<= x<=1, onde lvert x-yrvert=x-y.
— Região R2: 0<= x<y<=1, onde lvert x-yrvert=y-x.
Como a integranda depende só de lvert x-yrvert, as duas integrais são iguais. Assim
I ;=;integral duplaR1dx,dyraizx-y;+;integral duplaR2dx,dyraizy-x ;=;2integral duplaR1dx,dyraizx-y

Passo 3

Na região R1 fixamos xin[0,1] e fazemos a integral em y de 0 até x:
integral0^xdyraizx-y
Use a substituição u = x-y, de modo que du = -dy e, quando y=0, u=x; quando y=x, u=0. Logo
integral0^xdyraizx-y =integralu=x^u=0-duraizu =integral0^xduraizu =2raizuvert0^x =2raizx

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral duplaR1dx,dyraizx-y =integral0^1l(2raizxr),dx =2integral0^1x^tfrac12,dx =2cdot23,x^tfrac32vert0^1 =43

Passo 5

Como I=2integral duplaR1dots, concluímos
I = 2cdot43 = 83

Resposta

integral0^1integral0^1dx,dyraizlvert x-yrvert = 83

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