3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}=L>0
, então a série
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}
tem raio de convergência
1 / L
;

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeiro que, dado
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_n\bigr|}=L>0,
o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n
é 1/L. O conteúdo aqui é o Criterio da Raiz (ou Teorema de Cauchy–Hadamard) para séries de potências.

Passo 2

O Teorema de Cauchy–Hadamard afirma que o raio de convergência R de \sum c_n(x-a)^n é dado por
R \;=\;\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_n\bigr|}}.

Passo 3

Como neste caso existe de fato o limite
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_n\bigr|}=L,
então obrigatoriamente
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|c_n\bigr|}=L.

Passo 4

Substituindo esse valor na fórmula de Cauchy–Hadamard, obtemos
R \;=\;\frac{1}{L}.

Resposta

Verdadeiro.

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