3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n(\ln n)}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n\ln n}.
O conteúdo envolvido é teste da razão para obter o raio de convergência e, em seguida, testes de convergência nos pontos extremos x=\pm1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão sobre o termo geral
a_n(x)=\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n\ln n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\Bigl|x\Bigr|\frac{n\ln n}{(n+1)\ln(n+1)} =\lvert x\rvert\cdot1 =\lvert x\rvert.
Logo, a série converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. O raio de convergência é R=1.

Passo 3

No extremo x=1, a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\ln n}.
É uma série alternada cujo termo positivo
b_n=\frac{1}{n\ln n}
é decrescente para n grande e satisfaz \lim_{n\to\infty}b_n=0. Pelo teste de Leibniz (série alternada), ela converge.

Passo 4

No extremo x=-1, a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n\ln n} =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.
Esta é a série harmônica de segunda ordem, que diverge por comparação ou pelo teste da integral
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx=\bigl.\ln(\ln x)\bigr|_{2}^{\infty}=\infty.

Resposta

O intervalo de convergência é \,(-1,1].

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