3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
O conteúdo envolvido é teste da razão para obter o raio de convergência e, em seguida, testes de convergência nos pontos extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão sobre o termo geral
Calculamos
Logo, a série converge se
e diverge se
. O raio de convergência é
.
Passo 3
No extremo
, a série fica
É uma série alternada cujo termo positivo
é decrescente para
grande e satisfaz
. Pelo teste de Leibniz (série alternada), ela converge.
Passo 4
No extremo
, a série fica
Esta é a série harmônica de segunda ordem, que diverge por comparação ou pelo teste da integral
Resposta
O intervalo de convergência é
.