3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^n
O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para obter o raio e depois analisar os pontos finais.

Passo 2

Primeiro escrevemos o coeficiente geral
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}
em termos de fatoriais duplos. Sabemos que
(2n-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n\,n!}, \quad (2n)!! = 2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n\,n!.
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a_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{2^n\,n!\;2^n\,n!} = \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2} = \frac{\binom{2n}{n}}{4^n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\,|x| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}\,|x| =|x|.
Para convergir queremos L<1, ou seja |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos x=1. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}.
Pelo comportamento assintótico \binom{2n}{n}/4^n\sim1/\sqrt{\pi n}, a soma diverge (série tipo 1/\sqrt{n} com p=\tfrac12).

Passo 5

Testamos x=-1. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n.
Os termos a_n>0 decrescem para zero e alternam sinal, logo pela convergência condicional do critério de Leibniz a série converge.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1).

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