3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(-4)^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(-4)^n}
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e, em seguida, testar os extremos.

Passo 2

Seja a_n=\frac{x^{2n+1}}{(-4)^n}. Aplicando o teste da razão, calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{2(n+1)+1}/(-4)^{n+1}}{x^{2n+1}/(-4)^n}\right| =\frac{|x|^2}{4}.
O teste da razão diz que a série converge se
\frac{|x|^2}{4}<1,
ou seja, se |x|<2.

Passo 3

Concluímos, portanto, que a série converge para |x|<2 e diverge para |x|>2.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=2, o termo geral é
a_n=2\,(-1)^n,
que não tende a zero, logo a série diverge.
Para x=-2, o termo geral é
a_n=-2\,(-1)^n,
que também não tende a zero, então diverge nos extremos.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,2).

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