3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} n^{n}(x-3)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em 3:
\sum_{n=1}^{\infty}n^{n}(x-3)^{n}.
O conteúdo usado será o Teste da Raiz para séries de potências, que nos dá o raio de convergência R via
R=\frac{1}{L},
onde
L=\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|^{1/n}
e a_n=n^n no nosso caso.

Passo 2

Calculemos primeiro
\bigl|a_n\bigr|^{1/n}=\bigl|n^n\bigr|^{1/n}=n.
Logo
L=\limsup_{n\to\infty}n=+\infty.

Passo 3

Como L=+\infty, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=0.
Isso significa que a série só pode convergir quando x estiver exatamente no ponto central x=3.

Passo 4

Verificamos:
  • Se x\neq3, então \lvert x-3\rvert>0 e a série diverge porque \lim_{n\to\infty}n\lvert x-3\rvert=+\infty.
  • Se x=3, todo termo é n^n\cdot0^n=0 e a soma é trivialmente convergente.

Resposta

O único ponto de convergência é x=3. Portanto, o intervalo de convergência é \{3\}.

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