3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se a série
converge em
, então ela converge em
;
se a série
converge em
Passo 1
O enunciado diz: “Se a série de potências
converge em
, então ela converge em
”. O conteúdo envolve raio de convergência de séries de potências e precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa, justificando.
Passo 2
Para qualquer série de potências
existe um raio de convergência
tal que:
No caso de
, a convergência depende dos termos
e deve ser verificada à parte.
Passo 3
Se a série converge em
, isso significa que
está dentro do intervalo de convergência, ou seja,
Passo 4
Para que a série também convergisse em
, precisaríamos de
Mas do fato
não podemos deduzir
. Logo, a afirmação geral é falsa.
Passo 5
Contraexemplo prático: defina
.
– Em a série fica
– Em
que é uma progressão geométrica com razão
e portanto converge.
– Em temos
– Em
que diverge. Assim a série converge em
mas não em
.
Resposta
Falso.