1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(o) se
crescente e
convergente, então
converge;
(o) se
Passo 1
O enunciado afirma que
é crescente,
converge e
para todo
, e pede para decidir se então
converge. Vamos usar o fato de que toda sequência convergente é limitada e o Teorema da Convergência Monótona.
Passo 2
Como
converge, existe
tal que
Em particular, isto implica
Passo 3
Da desigualdade
e de
segue
Portanto
é crescente (hipótese) e limitada superiormente por
.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência crescente e limitada superiormente converge. Logo
converge.
Resposta
Verdadeiro.