1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(o) se an <= bn, forall n,an crescente e bn convergente, então an converge;

Passo 1

O enunciado afirma que an é crescente, bn converge e an<= bn para todo n, e pede para decidir se então an converge. Vamos usar o fato de que toda sequência convergente é limitada e o Teorema da Convergência Monótona.

Passo 2

Como bn converge, existe MinR tal que
|bn|<= Mforall n
Em particular, isto implica
bn<= Mforall n

Passo 3

Da desigualdade an<= bn e de bn<= M segue
an<= Mforall n
Portanto an é crescente (hipótese) e limitada superiormente por M.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência crescente e limitada superiormente converge. Logo an converge.

Resposta

Verdadeiro.

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