Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=x^2+1x x neq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^2+1x, xneq0
O conteúdo envolve análise de domínio, limites, derivadas para monotonicidade e concavidade, identificação de extremos e pontos de inflexão. Vamos aplicar cálculo diferencial passo a passo para obter a forma qualitativa do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e os limites nos pontos críticos x=0 e xtopminfty.
Domínio: (-infty,0)cup(0,infty) í
limxto0^+f(x)=+infty
limxto0^-f(x)=-infty
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=+infty
Logo há uma assíntota vertical em x=0 e não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois o termo x^2 domina em infinito).

Passo 3

Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade:
f'(x)=ddxl(x^2+1xr)=2x-1x^2
– Em x<0: 2x<0 e -1/x^2<0, logo f'(x)<0. Portanto f é estritamente decrescente em (-infty,0).
– Em x>0: resolvemos
f'(x)=0;Longrightarrow;2x=1x^2;Longrightarrow;2x^3=1;Longrightarrow;x^3=tfrac12;Longrightarrow;x=2^-13
Assim há um único ponto crítico em x=2^-13.

Passo 4

Identificar o tipo de extremo e seu valor. Seja x0=2^-13.
x0=2^-13
f(x0)=l(2^-13r)^2+12^-13 =2^-23+2^13 =3cdot2^-23
Como f'(x)<0 para 0<x<x0 e f'(x)>0 para x>x0, esse ponto é um mínimo local.

Passo 5

Calcular a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=ddxl(2x-tfrac1x^2r) =2+2x^3
f''(x)=0;Longrightarrow;2+2x^3=0;Longrightarrow;1x^3=-1;Longrightarrow;x=-1
Em x=-1 ocorre ponto de inflexão.

Passo 6

Determinar interceptos com os eixos:
– Eixo y: não existe porque x=0 não pertence ao domínio.
– Eixo x:
f(x)=0;Longrightarrow;x^2+1x=0;Longrightarrow;x^3=-1;Longrightarrow;x=-1
Logo cruza o eixo x em (-1,0), que coincide com o ponto de inflexão.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico combinando todas as informações:
  • Em (-infty,0) a curva parte de +infty em xto-infty, decresce estritamente, passa por (-1,0) (ponto de inflexão) e cai para -infty quando xto0^-.
  • Em (0,infty) começa em +infty para xto0^+, decresce até o mínimo local em
    l(2^-13,,3cdot2^-23r), e depois cresce para +infty conforme xto+infty.
  • Há assíntota vertical em x=0, sem outras assíntotas.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^2+1x tem domínio (-infty,0)cup(0,infty), assíntota vertical em x=0; em (-infty,0) é estritamente decrescente de +infty a -infty com ponto de inflexão em (-1,0); em (0,infty) decresce de +infty ao mínimo local em l(2^-13,,3cdot2^-23r) e depois cresce para +infty.

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