Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolve análise de domínio, limites, derivadas para monotonicidade e concavidade, identificação de extremos e pontos de inflexão. Vamos aplicar cálculo diferencial passo a passo para obter a forma qualitativa do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e os limites nos pontos críticos
e
.
Logo há uma assíntota vertical em
e não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois o termo
domina em infinito).
Passo 3
Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade:
– Em
:
e
, logo
. Portanto
é estritamente decrescente em
.
– Em : resolvemos
– Em
Assim há um único ponto crítico em
.
Passo 4
Identificar o tipo de extremo e seu valor. Seja
.
Como
para
e
para
, esse ponto é um mínimo local.
Passo 5
Calcular a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
Em
ocorre ponto de inflexão.
Passo 6
Determinar interceptos com os eixos:
– Eixo : não existe porque
não pertence ao domínio.
– Eixo :
– Eixo
– Eixo
Logo cruza o eixo
em
, que coincide com o ponto de inflexão.
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico combinando todas as informações:
- Em
a curva parte de em , decresce estritamente, passa por (ponto de inflexão) e cai para quando . - Em
começa em para , decresce até o mínimo local em
, e depois cresce para conforme . - Há assíntota vertical em
, sem outras assíntotas.
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, assíntota vertical em
; em
é estritamente decrescente de
a
com ponto de inflexão em
; em
decresce de
ao mínimo local em
e depois cresce para
.