1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(b) toda seqüência limitada é convergente;
(b) toda seqüência limitada é convergente;
Passo 1
O enunciado traz a afirmação “toda sequência limitada é convergente”. O conteúdo envolvido é análise de sequências reais, em particular os conceitos de sequência limitada e sequência convergente.
Passo 2
Definições principais:
– Dizemos que uma sequência é limitada se existe
tal que
para todo
.
– Dizemos que converge para
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
.
– Dizemos que uma sequência
– Dizemos que
Passo 3
Afirmativa a avaliar: “se
é limitada então
converge”. Para mostrar que isso é falso, basta encontrar uma sequência que seja limitada mas não tenha limite.
Passo 4
Considere a sequência
definida por
Primeiro, note que
para todo
, logo
é limitada (basta
). Agora, suponha que
converja para algum
.
Passo 5
Se
, então tomando
existe
tal que, para todo
,
Mas, para
, podemos escolher um
par, o que dá
e exige
(isto é,
), e em seguida o termo seguinte
ímpar, com
exigindo
(isto é,
). Isso é impossível: não há
que seja simultaneamente maior que
e menor que
. Portanto
não converge.
Passo 6
Como encontramos uma sequência limitada que não converge, a afirmação “toda sequência limitada é convergente” é falsa.
Resposta
Falso. Contra-exemplo:
.