1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(b) toda seqüência limitada é convergente;

Passo 1

O enunciado traz a afirmação “toda sequência limitada é convergente”. O conteúdo envolvido é análise de sequências reais, em particular os conceitos de sequência limitada e sequência convergente.

Passo 2

Definições principais:
– Dizemos que uma sequência (an) é limitada se existe M>0 tal que lvert anrvert <= M para todo n.
– Dizemos que (an) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que, sempre que n>= N, vale lvert an - Lrvert<varepsilon.

Passo 3

Afirmativa a avaliar: “se (an) é limitada então (an) converge”. Para mostrar que isso é falso, basta encontrar uma sequência que seja limitada mas não tenha limite.

Passo 4

Considere a sequência (an) definida por
an = (-1)^n
Primeiro, note que lvert anrvert = 1 para todo n, logo (an) é limitada (basta M=1). Agora, suponha que (an) converja para algum L.

Passo 5

Se (an)to L, então tomando varepsilon=0,5 existe N tal que, para todo n>= N,
lvert an - Lrvert < 0,5
Mas, para n>= N, podemos escolher um n par, o que dá an=1 e exige lvert 1 - Lrvert<0,5 (isto é, L>0,5), e em seguida o termo seguinte n+1 ímpar, com an+1=-1 exigindo lvert -1 - Lrvert<0,5 (isto é, L<-0,5). Isso é impossível: não há L que seja simultaneamente maior que 0,5 e menor que -0,5. Portanto (an) não converge.

Passo 6

Como encontramos uma sequência limitada que não converge, a afirmação “toda sequência limitada é convergente” é falsa.

Resposta

Falso. Contra-exemplo: an = (-1)^n.

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