Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
( Velocidade de Escape) Um corpo de massa constante m é projetado para fora da terra em uma direção perpendicular a superficie da terra com uma velocidade inicial v0. Supondo desprezível a resistência do ar, mas levando em conta a variação do campo gravitacional da terra com a distância, encontre uma fórmula para a velocidade desse corpo em movimento. Encontre também a velocidade inicial necessária para levantar o corpo até uma altitude máxima dada xi acima da superficie da terra e a menor velocidade inicial para que o corpo não retorne a terra. (chamada velocidade de escape).

Passo 1

O enunciado diz que um corpo de massa constante m é lançado da superfície da Terra (raio R) com velocidade inicial v0, movimentando-se na direção radial (perpendicular à superfície), desprezando o atrito do ar, mas considerando que a intensidade do campo gravitacional varia com a distância r ao centro da Terra. Precisamos:
  1. Obter uma fórmula para a velocidade v em função de r.
  2. Encontrar v0 que leve o corpo até uma altitude máxima xi acima da superfície.
  3. Determinar a mínima v0 para que o corpo nunca retorne (velocidade de escape).

Passo 2

Modelamos a força gravitacional como
F(r) = -G,M,mr^2,
onde M é a massa da Terra e G a constante gravitacional. Pela segunda lei de Newton,
m,dvdt = -G,M,mr^2
Como v = dfracdrdt, usamos a identidade dvdt = dvdr,drdt = v,dvdr, o que dá a equação diferencial
m,v,dvdr = -G,M,mr^2

Passo 3

Simplificamos m e separamos variáveis:
v,dv = -G,Mr^2,dr
Integramos ambos os lados desde r=R (onde v=v0) até um r genérico (onde v=v(r)):
integralv0^v(r) v,dv = -G,M integralR^r 1r^2,dr

Passo 4

Calculamos as integrais:
v^22|v0^v(r) = -G,M (-1r + 1R),
então
v(r)^2 - v0^22 = G,Ml(1r - 1Rr)
Reorganizando,
v(r)^2 = v0^2 - 2,G,Ml(1R - 1rr)

Passo 5

Para alcançar altitude máxima xi, a posição máxima ocorre em r = R + xi e ali v=0. Logo,
0 = v0^2 - 2,G,Ml(1R - 1R+xir)
Dessa forma a velocidade inicial necessária é
v0^2 = 2,G,Ml(1R - 1R+xir),
ou seja
v0 = raiz2,G,Ml(1R - 1R+xir)

Passo 6

A velocidade de escape é o limite de v0 quando xitoinfty. Como 1R+xito 0, fica
vescape = raiz2,G,MR

Resposta

Fórmula geral da velocidade:
v(r) = raiz,v0^2 - 2,G,Ml(tfrac1R - tfrac1rr),
Velocidade inicial para atingir altitude xi:
v0 = raiz2,G,Ml(tfrac1R - tfrac1R+xir)
Velocidade de escape (mínima para não retornar):
vescape = raiz2,G,MR

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