Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
( Velocidade de Escape) Um corpo de massa constante é projetado para fora da terra em uma direção perpendicular a superficie da terra com uma velocidade inicial . Supondo desprezível a resistência do ar, mas levando em conta a variação do campo gravitacional da terra com a distância, encontre uma fórmula para a velocidade desse corpo em movimento. Encontre também a velocidade inicial necessária para levantar o corpo até uma altitude máxima dada acima da superficie da terra e a menor velocidade inicial para que o corpo não retorne a terra. (chamada velocidade de escape).
Passo 1
O enunciado diz que um corpo de massa constante é lançado da superfície da Terra (raio ) com velocidade inicial , movimentando-se na direção radial (perpendicular à superfície), desprezando o atrito do ar, mas considerando que a intensidade do campo gravitacional varia com a distância ao centro da Terra. Precisamos:
Obter uma fórmula para a velocidade em função de .
Encontrar que leve o corpo até uma altitude máxima acima da superfície.
Determinar a mínima para que o corpo nunca retorne (velocidade de escape).
Passo 2
Modelamos a força gravitacional como
onde é a massa da Terra e a constante gravitacional. Pela segunda lei de Newton,
Como , usamos a identidade , o que dá a equação diferencial
Passo 3
Simplificamos e separamos variáveis:
Integramos ambos os lados desde (onde ) até um genérico (onde ):
Passo 4
Calculamos as integrais:
então
v(r)^2 - v0^22 = G,Ml(1r - 1Rr)
Reorganizando,
v(r)^2 = v0^2 - 2,G,Ml(1R - 1rr)
Passo 5
Para alcançar altitude máxima xi, a posição máxima ocorre em r = R + xi e ali v=0. Logo,
0 = v0^2 - 2,G,Ml(1R - 1R+xir)
Dessa forma a velocidade inicial necessária é
v0^2 = 2,G,Ml(1R - 1R+xir),
ou seja
v0 = raiz2,G,Ml(1R - 1R+xir)
Passo 6
A velocidade de escape é o limite de v0 quando xitoinfty. Como 1R+xito 0, fica