Esboçando a região correspondente, calcule cada integral definida utilizando fórmula de cálculo de área da geometria elementar. Depois, compare seu resultado fazendo uso do TFC.
integral0^4 x2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^4x2,dx
de duas formas:
  1. Interpretando como área sob a reta y=x/2 entre x=0 e x=4, usando fórmulas de geometria elementar.
  2. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para confirmar o resultado.

Passo 2

A curva y=x/2 no intervalo [0,4] é uma reta que parte de (0,0) e vai até (4,2). A região limitada por essa reta, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=4 é um triângulo de base 4 e altura 2.
A área desse triângulo é
Área = basetimesa<ura2 = 4times 22 =4 Á
Portanto, pela interpretação geométrica,
integral0^4x2,dx = 4

Passo 3

Pela aplicação do TFC, basta achar uma primitiva de tfracx2. Uma é
F(x)=x^24,
pois F'(x)=tfrac2x4=x/2. Então
integral0^4x2,dx =F(4)-F(0) =4^24-0 =4

Passo 4

Os dois métodos coincidem e dão o mesmo resultado:
integral0^4x2,dx = 4

Resposta

4

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