1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(f) toda seqüência divergente é não monótona;

Passo 1

O enunciado pergunta se vale sempre: “toda sequência divergente é não monótona”. Aqui o conteúdo é sequência numérica, usamos as definições de
– sequência monotônica: ou é crescente (cada termo é maior ou igual ao anterior) ou decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior);
– sequência divergente: não converge a um número finito, podendo divergir para +infty, para -infty ou não ter limite algum.

Passo 2

Se existisse tal afirmação verdadeira, qualquer sequência que não converge teria de oscilar de modo que não fosse nem só crescente nem só decrescente. Mas isso ignora os casos em que a sequência diverge “diretamente” para +infty ou para -infty, pois nesses casos ela pode ser perfeitamente monotônica.

Passo 3

Um contra-exemplo simples é
an = n
Observações:
– Para todo n, an+1=n+1>n=an, logo (an) é monotônica crescente.
limntoinftyan = +infty, ou seja, (an) diverge.

Resposta

A afirmação é falsa.
Contra-exemplo: an = n é monotônica crescente e, apesar disso, diverge para +infty.

Exercícios relacionados