1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(f) toda seqüência divergente é não monótona;
(f) toda seqüência divergente é não monótona;
Passo 1
O enunciado pergunta se vale sempre: “toda sequência divergente é não monótona”. Aqui o conteúdo é sequência numérica, usamos as definições de
– sequência monotônica: ou é crescente (cada termo é maior ou igual ao anterior) ou decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior);
– sequência divergente: não converge a um número finito, podendo divergir para , para
ou não ter limite algum.
– sequência monotônica: ou é crescente (cada termo é maior ou igual ao anterior) ou decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior);
– sequência divergente: não converge a um número finito, podendo divergir para
Passo 2
Se existisse tal afirmação verdadeira, qualquer sequência que não converge teria de oscilar de modo que não fosse nem só crescente nem só decrescente. Mas isso ignora os casos em que a sequência diverge “diretamente” para
ou para
, pois nesses casos ela pode ser perfeitamente monotônica.
Passo 3
Um contra-exemplo simples é
Observações:
– Para todo ,
, logo
é monotônica crescente.
– , ou seja,
diverge.
– Para todo
–
Resposta
A afirmação é falsa.
Contra-exemplo: é monotônica crescente e, apesar disso, diverge para
.
Contra-exemplo: