2 Prove que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Sugestão: Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz real. Obtenha a unicidade dessa raiz como consequência do Teorema de Rolle.
Sugestão: Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz real. Obtenha a unicidade dessa raiz como consequência do Teorema de Rolle.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a equação
tem exatamente uma raiz real. Vamos usar dois teoremas de análise de funções de uma variável: o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir a existência de alguma raiz real e o Teorema de Rolle para mostrar que não podem existir duas raízes distintas.
Passo 2
Defina a função
Como
é um polinômio, ela é contínua e derivável em todo
. Assim podemos aplicar tanto o TVI como o Teorema de Rolle.
Passo 3
Para usar o Teorema do Valor Intermediário, avalie
em dois pontos:
Como
é contínua em
e muda de sinal, o TVI garante que existe
tal que
Logo há pelo menos uma raiz real em
.
Passo 4
Agora, para mostrar que não há duas raízes, suponha, por contradição, que existam
tais que
Pelo Teorema de Rolle, como
é derivável em
e contínua em
, existe
com
Mas
para todo
, de modo que não há ponto em que
se anule. Isso contradiz a existência de
. Portanto não podem existir duas raízes distintas.
Resposta
A equação
tem exatamente uma única raiz real, que se encontra em
.