2 Prove que a equação x^3+x-1 tem exatamente uma raiz real.
Sugestão: Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz real. Obtenha a unicidade dessa raiz como consequência do Teorema de Rolle.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a equação x^3+x-1=0 tem exatamente uma raiz real. Vamos usar dois teoremas de análise de funções de uma variável: o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir a existência de alguma raiz real e o Teorema de Rolle para mostrar que não podem existir duas raízes distintas.

Passo 2

Defina a função
f(x)=x^3+x-1
Como f é um polinômio, ela é contínua e derivável em todo R. Assim podemos aplicar tanto o TVI como o Teorema de Rolle.

Passo 3

Para usar o Teorema do Valor Intermediário, avalie f em dois pontos:
f(0)=0^3+0-1=-1<0, f(1)=1^3+1-1=1>0
Como f é contínua em [0,1] e muda de sinal, o TVI garante que existe cin(0,1) tal que
f(c)=0
Logo há pelo menos uma raiz real em (0,1).

Passo 4

Agora, para mostrar que não há duas raízes, suponha, por contradição, que existam a<b tais que
f(a)=0 e f(b)=0
Pelo Teorema de Rolle, como f é derivável em (a,b) e contínua em [a,b], existe din(a,b) com
f'(d)=0
Mas
f'(x)=3x^2+1>0
para todo xinR, de modo que não há ponto em que f' se anule. Isso contradiz a existência de d. Portanto não podem existir duas raízes distintas.

Resposta

A equação x^3+x-1=0 tem exatamente uma única raiz real, que se encontra em (0,1).

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