1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(i) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se é verdadeira ou falsa a afirmação: “se uma sequência tem uma subsequência convergente, então a sequência converge”. O conteúdo envolve definição de convergência de sequência e subsequência. Para refutar, basta encontrar um contra-exemplo de sequência que tenha subsequência convergente mas não convirja.

Passo 2

Considere a sequência (an) definida por
an = (-1)^n
Essa sequência alterna entre 1 e -1.

Passo 3

Observe que a subsequência formada pelos termos de índice par é
a2k = (-1)^2k = 1
para todo k. Logo essa subsequência é constante e converge para 1.

Passo 4

Por outro lado, a sequência (an) não converge, pois se tivesse limite ell, para varepsilon=1 existiria N tal que |an - ell|<1 para todo n>N, mas como os termos continuam alternando entre 1 e -1, não há único valor ell que satisfaça essa condição. Logo (an) diverge.

Resposta

Falso. A sequência (an) dada por an=(-1)^n tem uma subsequência convergente, mas não converge.

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