1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(i) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;
(i) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se é verdadeira ou falsa a afirmação: “se uma sequência tem uma subsequência convergente, então a sequência converge”. O conteúdo envolve definição de convergência de sequência e subsequência. Para refutar, basta encontrar um contra-exemplo de sequência que tenha subsequência convergente mas não convirja.
Passo 2
Considere a sequência
definida por
Essa sequência alterna entre
e
.
Passo 3
Observe que a subsequência formada pelos termos de índice par é
para todo
. Logo essa subsequência é constante e converge para
.
Passo 4
Por outro lado, a sequência
não converge, pois se tivesse limite
, para
existiria
tal que
para todo
, mas como os termos continuam alternando entre
e
, não há único valor
que satisfaça essa condição. Logo
diverge.
Resposta
Falso. A sequência
dada por
tem uma subsequência convergente, mas não converge.