1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(h) toda seqüência divergente é não limitada;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a afirmação: “toda sequência divergente é não limitada”. O conteúdo envolve os conceitos de convergência (ou divergência) de sequências e de sequência limitada. Vamos revisar as definições e depois buscar um contra-exemplo caso a afirmação seja falsa.

Passo 2

Definições básicas:
Uma sequência (xn) diverge se não existe ellinR tal que
limntoinftyxn = ell
Uma sequência (xn) é limitada se existe M>0 tal que
|xn|<= Mpara todo ninN
A afirmação em questão diz que, sempre que (xn) diverge, ela deve ser não limitada (isto é, não existe M que sirva).

Passo 3

Contra-exemplo: considere (xn) dada por
xn = (-1)^n
  1. Verificamos que ela é limitada, pois
|xn| = |(-1)^n| = 1 <= 1
para todo n. Logo escolhemos M=1.
2. Mas (xn) não converge, pois as subsequências x2n=1 e x2n+1=-1 têm limites diferentes. Logo (xn) diverge.
Esse exemplo mostra que existe sequência divergente que é, ao mesmo tempo, limitada.

Resposta

Falso. Contra-exemplo: (xn) com xn = (-1)^n, que é divergente e limitada.

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