Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos ou anéis. Vamos precisar:
– encontrar o intervalo de onde a parte superior do círculo está acima da parábola;
– expressar as curvas superior e inferior em função de ;
– usar a fórmula
– encontrar o intervalo de
– expressar as curvas superior e inferior em função de
– usar a fórmula
Passo 2
Determinamos onde a parábola
e a semicircunferência superior
se encontram, resolvendo
que dá
e
. Entre esses valores, a semicircunferência fica acima da parábola.
Passo 3
Para
, temos
– curva inferior:
– curva inferior:
– curva superior:
Passo 4
O volume é dado por
Simplificando o integrando:
Passo 5
Calculamos a integral: