Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2: y >= raizx e (x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto
A=l(x,y)inR^2 : y>=raizx e (x-1)^2+y^2<=1r
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos ou anéis. Vamos precisar:
– encontrar o intervalo de x onde a parte superior do círculo está acima da parábola;
– expressar as curvas superior e inferior em função de x;
– usar a fórmula
V=integrala^bpil[R(x)^2-r(x)^2r],dx

Passo 2

Determinamos onde a parábola y=raizx e a semicircunferência superior
;y=raiz1-(x-1)^2 se encontram, resolvendo
raiz1-(x-1)^2=raizx Longrightarrow 1-(x-1)^2 = x Longrightarrow x(1-x)=0
que dá x=0 e x=1. Entre esses valores, a semicircunferência fica acima da parábola.

Passo 3

Para xin[0,1], temos
– curva inferior:
r(x)=raizx,
– curva superior:
R(x)=raiz,1-(x-1)^2,

Passo 4

O volume é dado por
V =integral0^1pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx =piintegral0^1l[l(1-(x-1)^2r)-xr],dx
Simplificando o integrando:
1-(x-1)^2 - x =1-l(x^2-2x+1r)-x =-x^2 + x

Passo 5

Calculamos a integral:
V =piintegral0^1(x - x^2),dx =pil[x^22-x^33r]0^1 =pil(12-13r) =pi6

Resposta

pi6

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