4a. Questão (1,0) Calcule o comprimento do arco da curva y=1+2 x^32, quando 0 <= x <= 1 ( Dica: L=integrala^b raiz1+(d yd x)^2).

Passo 1

A gente tem a curva definida por y = 1 + 2x^3/2 e quer o comprimento de arco para 0 <= x <= 1. O conteúdo aqui é comprimento de curva, e vamos usar a fórmula L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2,dx.

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada dy/dx. Como y = 1 + 2x^3/2, vale:
dydx = 2 cdot 32 x^1/2 = 3raizx

Passo 3

Depois, monto o integrando da fórmula do comprimento:
raiz1 + l(3raizxr)^2 = raiz1 + 9x
Então
L = integral0^1 raiz1 + 9x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1 raiz1 + 9x,dx, faço a substituição u = 9x + 1, logo du = 9,dx e dx = du/9. Quando x=0, u=1; e quando x=1, u=10. Assim:
L = integralu=1^10 raizu cdot du9 = 19 integral1^10 u^1/2,du
Essa integral é
19 cdot 23 u^3/2 g|1^10 = 227l(u^3/2r)g|1^10

Passo 5

Avalio nos limites:
L = 227l(10^3/2 - 1^3/2r) = 227l(10raiz10 - 1r)

Resposta

L = 227l(10raiz10 - 1r)

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