3^ a . Questão. (2,0) Calcule:
(a) A área da região limitada por y=2-x^2 e y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas e . Estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas, que faz parte do estudo de integrais no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram e depois calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de 2 - x^2 = x^2 :
2 = 2x^2 x^2 = 1 x = pm 1
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Escolhemos um valor de y = 2 - (0)^2 = 2 y = (0)^2 = 0 entre -1 e 1, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo. Portanto, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da diferença das funções de cima menos a de baixo, de a .

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área:
A = integral-1^1 ( (2 - x^2) - (x^2) ) dx A = integral-1^1 (2 - 2x^2) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
A = [ 2x - 23x^3 ]-1^1
Calculando nos limites de integração:
Para 2(1) - 23(1)^3 = 2 - 23 = 43 :
2(-1) - 23(-1)^3 = -2 + 23 = -43
Para A = 43 - (-43) = 83 :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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