3^ a . Questão. (2,0) Calcule:
(b) O volume do sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo y, da região limitada pela curva y=x^2, 0 <= x <= 1 e pelas retas y=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva , pelas retas e é girada em torno do eixo . Vamos precisar usar o método dos discos ou cilindros para integrar e achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. Temos a parábola de a , a reta que é o eixo , e a vertical em . Quando giramos isso em torno do eixo , formamos um sólido de revolução.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo V = pi integralymin^ymax [R(y)]^2 , dy , é melhor usar o método dos discos horizontais. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde é o raio do disco em cada valor de .

Passo 4

Precisamos expressar x = raizy em função de para encontrar . Da equação , temos:
Então, o raio .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Como vai de 0 a 1, vai de 0 a . Então, integramos de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 (raizy)^2 , dy = pi integral0^1 y , dy

Passo 7

Agora, vamos integrar integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 em relação a :

Passo 8

Multiplicando pelo V = pi times 12 = pi2 :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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