. Questão.
Calcule:
(b) O volume do sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo
, da região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
(b) O volume do sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva
, pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Vamos precisar usar o método dos discos ou cilindros para integrar e achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. Temos a parábola
de
a
, a reta
que é o eixo
, e a vertical em
. Quando giramos isso em torno do eixo
, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
, é melhor usar o método dos discos horizontais. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde
é o raio do disco em cada valor de
.
Passo 4
Precisamos expressar
em função de
para encontrar
. Da equação
, temos:
Então, o raio
.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
vai de 0 a 1,
vai de 0 a
. Então, integramos de
a
.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.