Encontre a massa do disco de raio 2 com p(x, y)=x^2+y^2-2 x

Passo 1

A questão pede para encontrar a massa de um disco de raio 2 cuja densidade variável é dada por p(x,y)=x^2+y^2-2x. O conteúdo aqui é cálculo de massa de uma lâmina com densidade variável, usando integrais duplas e, para simplificar, coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos a massa como integral dupla da densidade sobre a região D, que é o disco de raio 2:
M=integral duplaDp(x,y),dA
Em coordenadas polares temos as trocas
x=rcostheta, y=rsintheta,
x^2+y^2=r^2,
dA=r,dr,dtheta,
e a densidade fica p=r^2-2rcostheta.
Assim
M=integral0^2piintegral0^2l(r^2-2rcosthetar),r,dr,dtheta

Passo 3

Dentro da integral, multiplicamos e separamos:
M=integral0^2piintegral0^2l(r^3-2r^2costhetar),dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^2r^3,dr=r^44|0^2=4,integral0^2r^2,dr=r^33|0^2=83
Logo o integrando em theta é
4-2cdot83costheta=4-163costheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
M=integral0^2pil(4-163costhetar)dtheta=4cdot2pi-163integral0^2picostheta,dtheta
Sabemos que integral0^2picostheta,dtheta=0, então
M=8pi-163cdot0=8pi

Passo 5

Portanto, a massa do disco é 8pi.

Resposta

8\pi

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