A questão pede para encontrar a massa de um disco de raio 2 cuja densidade variável é dada por . O conteúdo aqui é cálculo de massa de uma lâmina com densidade variável, usando integrais duplas e, para simplificar, coordenadas polares.
Passo 2
Escrevemos a massa como integral dupla da densidade sobre a região , que é o disco de raio 2:
Em coordenadas polares temos as trocas , , , ,
e a densidade fica .
Assim
Passo 3
Dentro da integral, multiplicamos e separamos:
Calculando a integral em :
Logo o integrando em theta é
4-2cdot83costheta=4-163costheta
Passo 4
Agora integramos em theta:
M=integral0^2pil(4-163costhetar)dtheta=4cdot2pi-163integral0^2picostheta,dtheta
Sabemos que integral0^2picostheta,dtheta=0, então M=8pi-163cdot0=8pi