Sabe-se que 80 \% dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
b) Acima de 90 \%;

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e listar os dados fornecidos.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 100 habitantes, a proporção de vacinados seja acima de 90\%?
  • Dados fornecidos:
    • Proporção verdadeira de vacinados na população: p=80\% = 0,8.
    • Tamanho da amostra: n=100.
    • Evento pedido: \hat{p}>0,9, onde \hat{p} é a proporção de vacinados na amostra de tamanho n.

Passo 2

Modelagem do problema: como representar \hat{p} matematicamente.
  • Cada habitante pode ser visto como uma tentativa com sucesso “vacinado” (probabilidade p) ou falha “não vacinado”.
  • O número de vacinados na amostra, digamos X, segue uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p).
  • A proporção amostral é \hat{p} = X/n.
  • Então o problema pede \Pr(\hat{p}>0,9) = \Pr\bigl(X>0,9\cdot n\bigr) = \Pr(X>90) (mas iremos trabalhar com \hat{p} diretamente).

Passo 3

Condições para usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções).
  • Quando n é grande e np e n(1-p) são razoavelmente grandes (regra prática: \ge 5), a distribuição de \hat{p} é bem aproximada por uma normal.
  • Verificamos:
    • np = 100\cdot 0,8 = 80 \ge 5.
    • n(1-p) = 100\cdot 0,2 = 20 \ge 5.
  • Portanto podemos aproximar \hat{p} por uma normal.

Passo 4

Escrever a distribuição aproximada de \hat{p} e explicar os parâmetros.
  • Pelo resultado assintótico: \hat{p}\approx N\!\left(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\right).Aqui:
    • p é a média (valor esperado) da proporção amostral;
    • \frac{p(1-p)}{n} é a variância da proporção amostral;
    • o desvio-padrão (erro-padrão) é \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
  • Substituindo p=0,8 e n=100: \text{erro-padrão} = \sqrt{\frac{0,8\cdot 0,2}{100}}.ã

Passo 5

Calcular numericamente o erro-padrão.
  • Primeiro o produto 0,8\cdot 0,2 = 0,16.
  • Então \dfrac{0,16}{100} = 0,0016.
  • A raiz quadrada dá \sqrt{0,0016} = 0,04.
  • Logo \hat{p}\approx N(0,8,\;0,04^2), isto é média 0,8 e desvio-padrão 0,04.

Passo 6

Transformar o evento em uma probabilidade de padrão normal (z-score).
  • Queremos \Pr(\hat{p}>0,9).
  • Padronizando para Z\sim N(0,1): Z=\frac{\hat{p}-p}{\text{erro-padrão}} = \frac{\hat{p}-0,8}{0,04}.ã
  • Então \Pr(\hat{p}>0,9)=\Pr\!\left(Z>\frac{0,9-0,8}{0,04}\right)=\Pr(Z>2,5).

Passo 7

Encontrar a probabilidade da cauda superior da normal padrão.
  • Usando tabela da normal padrão ou calculadora: \Phi(2,5) (função de distribuição acumulada) vale aproximadamente 0,9938.
  • Portanto \Pr(Z>2,5)=1-\Phi(2,5)=1-0,9938=0,0062.
  • Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 0,62\%.

Resposta

0,0062

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