Sabe-se que
dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
b) Acima de
;
b) Acima de
Passo 1
Entender o que o enunciado pede e listar os dados fornecidos.
- Pergunta: qual é a probabilidade de que, numa amostra aleatória de
habitantes, a proporção de vacinados seja acima de ? - Dados fornecidos:
- Proporção verdadeira de vacinados na população:
. - Tamanho da amostra:
. - Evento pedido:
, onde é a proporção de vacinados na amostra de tamanho .
- Proporção verdadeira de vacinados na população:
Passo 2
Modelagem do problema: como representar
matematicamente.
- Cada habitante pode ser visto como uma tentativa com sucesso “vacinado” (probabilidade
) ou falha “não vacinado”. - O número de vacinados na amostra, digamos
, segue uma distribuição binomial . - A proporção amostral é
. - Então o problema pede
(mas iremos trabalhar com diretamente).
Passo 3
Condições para usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções).
- Quando
é grande e e são razoavelmente grandes (regra prática: ), a distribuição de é bem aproximada por uma normal. - Verificamos:
-
. -
.
-
- Portanto podemos aproximar
por uma normal.
Passo 4
Escrever a distribuição aproximada de
e explicar os parâmetros.
- Pelo resultado assintótico:
Aqui: -
é a média (valor esperado) da proporção amostral; -
é a variância da proporção amostral; - o desvio-padrão (erro-padrão) é
.
-
- Substituindo
e :
Passo 5
Calcular numericamente o erro-padrão.
- Primeiro o produto
. - Então
. - A raiz quadrada dá
- Logo
, isto é média e desvio-padrão .
Passo 6
Transformar o evento em uma probabilidade de padrão normal (z-score).
- Queremos
. - Padronizando para
: - Então
Passo 7
Encontrar a probabilidade da cauda superior da normal padrão.
- Usando tabela da normal padrão ou calculadora:
(função de distribuição acumulada) vale aproximadamente . - Portanto
- Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente
.