4.4A Seja
uma função de classe
em uma região contendo uma curva regular
com origem no ponto A e extremidade no ponto B. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é de classe
numa região que contém uma curva regular
de origem em
e extremidade em
, então
O conteúdo usado aqui é o teorema fundamental do cálculo aplicado a integrais de linha de campos conservativos (gradientes). Vamos parametrizar
e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização regular
de forma que
. Como
é
,
e
são contínuos em
.
Passo 3
Escrevemos a integral de linha em função de
:
Pelo teorema da cadeia, a derivada de
é
Logo, o integrando é exatamente essa derivada.
Passo 4
Aplicando o teorema fundamental do cálculo à função
, temos
Portanto a integral de linha do gradiente atende à fórmula desejada.