4.4A Seja varphi(x, y, z) uma função de classe C^1 em uma região contendo uma curva regular gamma com origem no ponto A e extremidade no ponto B. Mostre que:
integralgamma nabla varphi cdot d r=varphi(B)-varphi(A)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se varphicolon R^3toR é de classe C^1 numa região que contém uma curva regular gamma de origem em A e extremidade em B, então
integralgammanablavarphicdot dvec r=varphi(B)-varphi(A)
O conteúdo usado aqui é o teorema fundamental do cálculo aplicado a integrais de linha de campos conservativos (gradientes). Vamos parametrizar gamma e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização regular
vec rcolon [a,b]toR^3, vec r(a)=A,;vec r(b)=B,
de forma que dvec r=vec r,'(t),dt. Como varphi é C^1, nablavarphi(vec r(t)) e vec r,'(t) são contínuos em [a,b].

Passo 3

Escrevemos a integral de linha em função de t:
integralgammanablavarphicdot dvec r =integrala^bnablavarphil(vec r(t)r)cdotvec r,'(t),dt
Pelo teorema da cadeia, a derivada de varphi(vec r(t)) é
ddtvarphil(vec r(t)r) =nablavarphil(vec r(t)r)cdotvec r,'(t)
Logo, o integrando é exatamente essa derivada.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo à função tmapsto varphi(vec r(t)), temos
integrala^bddtvarphil(vec r(t)r),dt =varphil(vec r(b)r)-varphil(vec r(a)r) =varphi(B)-varphi(A)
Portanto a integral de linha do gradiente atende à fórmula desejada.

Resposta

integralgammanablavarphicdot dvec r =varphi(B)-varphi(A)

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