4.4B Se
e
são duas funções potenciais de um mesmo campo vetorial
, em uma região
, mostre que existe uma constante
tal que
em qualquer ponto
da região
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo vetorial
definido numa região
e duas funções potenciais
e
de
, ou seja,
para todo
. Queremos mostrar que existe uma constante
tal que
em qualquer ponto de
. Vamos usar a propriedade de que a diferença de duas potenciais tem gradiente nulo e, em região conexa, só pode ser constante.
Passo 2
Definimos a função
Como
e
são potenciais de
, temos
Isto significa que todas as derivadas parciais de
são zero em
.
Passo 3
Uma função cujo gradiente é zero em uma região
conexa é constante em
. Logo, existe um
tal que
para todo
.