4.4B Se varphi e psi são duas funções potenciais de um mesmo campo vetorial F, em uma região D, mostre que existe uma constante C tal que varphi(x, y, z)=psi(x, y, z)+C em qualquer ponto (x, y, z) da região D.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial F definido numa região D e duas funções potenciais varphi e psi de F, ou seja,
nablavarphi(x,y,z)=F(x,y,z) e nablapsi(x,y,z)=F(x,y,z)
para todo (x,y,z)in D. Queremos mostrar que existe uma constante C tal que
varphi(x,y,z)=psi(x,y,z)+C
em qualquer ponto de D. Vamos usar a propriedade de que a diferença de duas potenciais tem gradiente nulo e, em região conexa, só pode ser constante.

Passo 2

Definimos a função
g(x,y,z)=varphi(x,y,z)-psi(x,y,z)
Como varphi e psi são potenciais de F, temos
nabla g =nablavarphi-nablapsi =F-F =0
Isto significa que todas as derivadas parciais de g são zero em D.

Passo 3

Uma função cujo gradiente é zero em uma região D conexa é constante em D. Logo, existe um CinR tal que
g(x,y,z)=varphi(x,y,z)-psi(x,y,z)=C
para todo (x,y,z)in D.

Resposta

varphi(x,y,z)=psi(x,y,z)+C, para alguma constante C.

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