Um barco é puxado em direção a uma doca por uma corda amarrada a um tambor que se encontra a uma altura de 5 metros acima da proa. Se a corda está sendo puxada a uma razāc de 3 metros por segundo, com que rapidez o barco se aproxima da doca quando a 12 metros de distância?
Passo 1
O enunciado descreve um barco que é puxado para uma doca por uma corda presa a um tambor fixo a
m de altura. A corda forma um triângulo retângulo cujo cateto vertical é constante (
m) e o outro cateto (
) é a distância horizontal do barco à doca. O comprimento da corda (
) muda com o tempo, e queremos usar taxas relacionadas para encontrar a velocidade com que
varia quando
m.
Passo 2
Definimos as variáveis:
-
: distância horizontal do barco à doca em metros. -
: comprimento da corda em metros.
Pela geometria do triângulo retângulo, vale
Passo 3
Derivamos em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 4
No instante de interesse, temos
m e
Como a corda está sendo puxada a
m/s em direção ao tambor, seu comprimento diminui, logo
Substituindo em
:
Resposta
A distância horizontal do barco à doca diminui a
m/s quando ele está a
m de distância.