Um barco é puxado em direção a uma doca por uma corda amarrada a um tambor que se encontra a uma altura de 5 metros acima da proa. Se a corda está sendo puxada a uma razāc de 3 metros por segundo, com que rapidez o barco se aproxima da doca quando a 12 metros de distância?

Passo 1

O enunciado descreve um barco que é puxado para uma doca por uma corda presa a um tambor fixo a 5 m de altura. A corda forma um triângulo retângulo cujo cateto vertical é constante ( 5 m) e o outro cateto ( x) é a distância horizontal do barco à doca. O comprimento da corda ( L) muda com o tempo, e queremos usar taxas relacionadas para encontrar a velocidade com que x varia quando x=12 m.

Passo 2

Definimos as variáveis:
  • x(t): distância horizontal do barco à doca em metros.
  • L(t): comprimento da corda em metros.
    Pela geometria do triângulo retângulo, vale
L^2 = x^2 + 5^2

Passo 3

Derivamos em relação ao tempo t:
2L,dLdt = 2x,dxdt
Simplificando:
L,dLdt = x,dxdt

Passo 4

No instante de interesse, temos x=12 m e
L = raiz12^2 + 5^2 = 13 m
Como a corda está sendo puxada a 3 m/s em direção ao tambor, seu comprimento diminui, logo
dLdt = -3 m/s
Substituindo em L,tfracdLdt = x,tfracdxdt:
13 cdot (-3) = 12 ,dxdt Longrightarrow dxdt = -3912 = -134 = -3,25 m/s

Resposta

A distância horizontal do barco à doca diminui a ,3,25 m/s quando ele está a 12 m de distância.

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