(1,0 ponto) Sejam V um C-espaço vetorial e T: V V um operador linear tal que T^2=T circ T=T. Considere W1=v in V: T(v)=v e W2=Ker(T)=v in V: T(v)=0. Mostre que V=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre C e Tcolon Vto V é um operador linear tal que
T^2 ;=; Tcirc T ;=; T
Definimos
W1 = vin V : T(v)=v, W2 = ker(T) = vin V : T(v)=0,
e queremos mostrar que
V = W1 oplus W2
O conteúdo da matéria é a decomposição de um espaço vetorial em imagem e núcleo de um operador projetor (idempotente).

Passo 2

Primeiro vemos que W1 e W2 são subespaços de V.
  • Se v,win W1 então T(v)=v e T(w)=w. Pela linearidade de T, T(v+w)=T(v)+T(w)=v+w, T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda v, logo v+w e lambda v também satisfazem T(cdot)=cdot, isto é, W1 é subespaço.
  • Se v,win W2 então T(v)=0 e T(w)=0. Novamente pela linearidade, T(v+w)=T(v)+T(w)=0, T(lambda v)=lambda,T(v)=0, mostrando que W2 é subespaço.

Passo 3

Agora mostramos que todo vin V pode ser escrito como soma de um elemento de W1 e um de W2. Definimos
w1 = T(v), w2 = v - T(v)
Então v = w1 + w2. Note que
T(w1) = T(T(v)) = T^2(v) = T(v) = w1,
logo w1in W1, e
T(w2) = Tl(v - T(v)r) = T(v) - T^2(v) = T(v) - T(v) = 0,
logo w2in W2. Assim vin W1+W2 e concluímos V = W1 + W2.

Passo 4

Finalmente mostramos que a interseção W1cap W2 é só o vetor nulo. Se vin W1cap W2 então
T(v)=v e T(v)=0
Daí v=0. Logo W1cap W2=0.

Resposta

Portanto
V = W1 oplus W2

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