(1,0 ponto) Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear tal que
. Considere
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre
e
é um operador linear tal que
Definimos
e queremos mostrar que
O conteúdo da matéria é a decomposição de um espaço vetorial em imagem e núcleo de um operador projetor (idempotente).
Passo 2
Primeiro vemos que
e
são subespaços de
.
- Se
então e . Pela linearidade de , logo e também satisfazem , isto é, é subespaço. - Se
então e . Novamente pela linearidade, mostrando que é subespaço.
Passo 3
Agora mostramos que todo
pode ser escrito como soma de um elemento de
e um de
. Definimos
Então
. Note que
logo
, e
logo
. Assim
e concluímos
.
Passo 4
Finalmente mostramos que a interseção
é só o vetor nulo. Se
então
Daí
. Logo
.
Resposta
Portanto