3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n) x^2 n+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),x^2n+1
O conteúdo principal é uso do teste da razão para séries de potências. Vamos primeiro reescrever o coeficiente de forma mais manejável e depois aplicar o teste.

Passo 2

Note que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n-1)!!, 2cdot4cdot6cdots(2n)=(2n)!!
Usando a relação (2n-1)!!=(2n)!2^n,n! e (2n)!!=2^n,n!, obtemos
1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n) =(2n)!2^n,n!;12^n,n! =(2n)!2^2n(n!)^2 =binom2nn4^n
Logo a série fica
sumn=1^infty binom2nn4^n;x^2n+1

Passo 3

Denotemos o termo geral por
un = binom2nn4^n,x^2n+1
Aplicando o teste da razão, calculamos
|un+1un| =binom2(n+1)n+14^,n+1,|x|^2(n+1)+1 ;g/;binom2nn4^n,|x|^2n+1 =binom2n+2n+1binom2nn;14;|x|^2
Usando
binom2n+2n+1binom2nn =(2n+2)!(n+1)!(n+1)!(2n)!n!,n! =(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 =2(n+1)(2n+1)(n+1)^2 =2n+1n+1,
segue
|un+1un| =2n+1n+1;|x|^24 =2n+12(n+1),|x|^2

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|un+1un| =limntoinfty2n+12(n+1),|x|^2 =|x|^2
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^2<1, isto é |x|<1, e diverge se |x|>1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Faltam os extremos:
  1. Para x=1 o termo geral vale
    un=binom2nn4^n,
    e sabe-se que binom2nn/4^nsim1raizpi n. Como sum1/raizn diverge, a série diverge em x=1.
  2. Para x=-1 temos
    un=binom2nn4^n(-1)^2n+1 =-,binom2nn4^n,
    cujos termos em valor absoluto são iguais ao caso x=1. Logo também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-1,1)

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