(1,0 ponto) A sequência de Fibonacci é definida indutivamente por
Considere a sequência
Prove que (
) é convergente, com limite
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e considera a razão
Queremos mostrar que
converge e encontrar seu limite
, o qual satisfaz
Para isso, vamos (i) obter uma relação de recorrência para
, (ii) estudar as subsequências par e ímpar para provar monotonia e limitação, e (iii) passar ao limite na relação de recorrência.
Passo 2
Vamos obter a relação entre
e
. Por definição,
Logo, para todo
,
Passo 3
Analisemos o comportamento de
por meio das subsequências de índices pares e ímpares.
- Valores iniciais:
Observamos . - Monotonia e limitação das subsequências:
- Para índices pares: suponha, por indução, que para algum
valha Então Mas como (caso base: ), invertem-se as desigualdades após aplicar , de modo que . Assim, é crescente. Além disso, está claro que para todo , logo é limitada superiormente por 1. - Para índices ímpares: de forma análoga, usando
, mostra-se que é decrescente e limitada inferiormente por 0, com todos os termos positivos.
- Para índices pares: suponha, por indução, que para algum
- Conclusão: por teorema de monotonia e limitação, ambas subsequências convergem. Como a relação de recorrência as conecta, o limite de cada uma deve ser o mesmo valor
.
Passo 4
Como
, passando ao limite na relação
obtemos
Multiplicando em cruz, vem
As soluções são
. Como
para todo
, escolhemos a raiz positiva:
Resposta
O limite da sequência
existe e vale