(1,0 ponto) A sequência de Fibonacci é definida indutivamente por
a1=a2=1 e an+2=an+1+an, n in N
Considere a sequência
xn=anan+1
Prove que ( xn ) é convergente, com limite
L=1L+1=(-1+raiz5)2

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
a1=a2=1, an+2=an+1+an,
e considera a razão
xn=anan+1
Queremos mostrar que (xn) converge e encontrar seu limite L, o qual satisfaz
L=1L+1
Para isso, vamos (i) obter uma relação de recorrência para xn, (ii) estudar as subsequências par e ímpar para provar monotonia e limitação, e (iii) passar ao limite na relação de recorrência.

Passo 2

Vamos obter a relação entre xn+1 e xn. Por definição,
xn+1 =an+1an+2 =an+1an+an+1 =11+anan+1 =11+xn
Logo, para todo ninN,
xn+1=11+xn

Passo 3

Analisemos o comportamento de (xn) por meio das subsequências de índices pares e ímpares.
  1. Valores iniciais: x1=a1a2=1, x2=a2a3=12=0,5 Observamos x1>x2.
  2. Monotonia e limitação das subsequências:
    • Para índices pares: suponha, por indução, que para algum k>=1 valha x2k<x2k+2 Então x2k+2 =11+x2k+1 e x2k =11+x2k-1 Mas como x2k-1>x2k+1 (caso base: x1=1>2/3=x3), invertem-se as desigualdades após aplicar tmapsto1/(1+t), de modo que x2k<x2k+2. Assim, (x2k) é crescente. Além disso, está claro que 0<xn<1 para todo n, logo (x2k) é limitada superiormente por 1.
    • Para índices ímpares: de forma análoga, usando x2k+1=1/(1+x2k), mostra-se que (x2k+1) é decrescente e limitada inferiormente por 0, com todos os termos positivos.
  3. Conclusão: por teorema de monotonia e limitação, ambas subsequências convergem. Como a relação de recorrência as conecta, o limite de cada uma deve ser o mesmo valor L.

Passo 4

Como xnto L, passando ao limite na relação
xn+1=11+xn
obtemos
L=11+L
Multiplicando em cruz, vem
L(1+L)=1 Longrightarrow L^2+L-1=0
As soluções são L=-1pmraiz52. Como xn>0 para todo n, escolhemos a raiz positiva:
L=-1+raiz52

Resposta

O limite da sequência l(xnr) existe e vale
L=-1+raiz52approx 0,618

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