Estude o crescimento/decrescimento de
. Encontre os máximos/mínimos locais. Algum desses extremos locais é global (absoluto)?
Resposta: Ponto de máximo local
. Pontos de mínimo local:
e
.
é ponto de mínimo absoluto. Não há ponto de máximo absoluto.
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar o crescimento e decrescimento da função
encontrar os extremos locais e verificar se algum é extremo absoluto. Para isso usaremos derivadas e o teste da primeira derivada.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Em seguida fatoramos:
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
, ou seja,
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
.
Para , os fatores
,
e
são todos negativos, logo
e
é decrescente.
Para , tem-se
,
,
, logo
e
é crescente.
Para , tem-se
,
,
, logo
e
é decrescente.
Para , todos os fatores são positivos, então
e
é crescente.
Assim em há mudança de decrescente para crescente (mínimo local), em
de crescente para decrescente (máximo local) e em
de decrescente para crescente (mínimo local).
Para
Para
Para
Para
Assim em
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Passo 6
Como
, não há máximo absoluto. O menor valor obtido é
, portanto
é mínimo absoluto.
Resposta
Ponto de máximo local:
.
Pontos de mínimo local: e
.
O ponto é mínimo absoluto.
Não há ponto de máximo absoluto.
Pontos de mínimo local:
O ponto
Não há ponto de máximo absoluto.