Estude o crescimento/decrescimento de f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2+1. Encontre os máximos/mínimos locais. Algum desses extremos locais é global (absoluto)?
Resposta: Ponto de máximo local x0=0. Pontos de mínimo local: x1=-1 e x2=2. x2=2 é ponto de mínimo absoluto. Não há ponto de máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar o crescimento e decrescimento da função
f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+1,
encontrar os extremos locais e verificar se algum é extremo absoluto. Para isso usaremos derivadas e o teste da primeira derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(3x^4-4x^3-12x^2+1r) =12x^3-12x^2-24x
Em seguida fatoramos:
f'(x)=12x(x^2-x-2) =12x(x-2)(x+1)

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
12x(x-2)(x+1)=0 Longrightarrow x=-1,;x=0,;x=2

Passo 4

Analisamos o sinal de f' em cada intervalo determinado por -1,0,2.
Para x<-1, os fatores x, x+1 e x-2 são todos negativos, logo f'(x)<0 e f é decrescente.
Para -1<x<0, tem-se x<0, x+1>0, x-2<0, logo f'(x)>0 e f é crescente.
Para 0<x<2, tem-se x>0, x+1>0, x-2<0, logo f'(x)<0 e f é decrescente.
Para x>2, todos os fatores são positivos, então f'(x)>0 e f é crescente.
Assim em x=-1 há mudança de decrescente para crescente (mínimo local), em x=0 de crescente para decrescente (máximo local) e em x=2 de decrescente para crescente (mínimo local).

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=3cdot(-1)^4-4cdot(-1)^3-12cdot(-1)^2+1 =3+4-12+1=-4,
f(0)=1,
f(2)=3cdot16-4cdot8-12cdot4+1 =48-32-48+1=-31

Passo 6

Como limxtopminftyf(x)=+infty, não há máximo absoluto. O menor valor obtido é f(2)=-31, portanto x=2 é mínimo absoluto.

Resposta

Ponto de máximo local: x0=0.
Pontos de mínimo local: x1=-1 e x2=2.
O ponto x2=2 é mínimo absoluto.
Não há ponto de máximo absoluto.

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