(1,0 ponto) Dizemos que f: I R é côncava se para quaisquer x, y in I e t in[0,1], temos
f(t x+(1-t) y) >= t f(x)+(1-t) f(y)
Seja f:[a, b] R côncava e contínua, com f(a)<f(b). Mostre que para cada d in(f(a), f(b)), existe único c in(a, b) tal que f(c)=d.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua e côncava fcolon [a,b]toR com f(a)<f(b), e pede para mostrar que, dado qualquer dinl(f(a),f(b)r), existe exatamente um cin(a,b) tal que f(c)=d. Vamos usar:
  1. A propriedade de que uma função côncava tem declive médio não–aumentante.
  2. O Teorema do Valor Intermediário para garantir existência.
  3. O fato de uma função estritamente crescente ser injetiva, para garantir unicidade.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente. Seja a<= x<y<= b. Defina
t=x-ab-ain[0,1],
de modo que x=t,b+(1-t),a. Pela concavidade,
f(x)=fl(t,b+(1-t),ar);>=;t,f(b)+(1-t),f(a)
Isto dá
f(x)-f(a);>=;x-ab-a,l(f(b)-f(a)r)
Analogamente, usando y no lugar de x, obtemos
f(y)-f(a);>=;y-ab-a,l(f(b)-f(a)r)
Subtraindo as duas desigualdades:
f(y)-f(x);>=;y-xb-a,l(f(b)-f(a)r)
Como f(b)-f(a)>0 e y-x>0, concluímos f(y)-f(x)>0, ou seja, f(y)>f(x). Logo, f é estritamente crescente em [a,b].

Passo 3

De f estritamente crescente segue-se que ela é injetiva. Portanto, se existirem c1,c2in(a,b) com f(c1)=f(c2)=d, então obrigatoriamente c1=c2. Assim, a solução de f(c)=d, quando existir, será única.

Passo 4

Como f é contínua em [a,b] e satisfaz f(a)<d<f(b), o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um cin(a,b) tal que
f(c)=d

Resposta

Para cada dinl(f(a),f(b)r) existe exatamente um cin(a,b) tal que f(c)=d.

Exercícios relacionados