(1,0 ponto) Dizemos que
é côncava se para quaisquer
e
, temos
Seja
côncava e contínua, com
. Mostre que para cada
, existe único
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua e côncava
com
, e pede para mostrar que, dado qualquer
, existe exatamente um
tal que
. Vamos usar:
- A propriedade de que uma função côncava tem declive médio não–aumentante.
- O Teorema do Valor Intermediário para garantir existência.
- O fato de uma função estritamente crescente ser injetiva, para garantir unicidade.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente. Seja
. Defina
de modo que
. Pela concavidade,
Isto dá
Analogamente, usando
no lugar de
, obtemos
Subtraindo as duas desigualdades:
Como
e
, concluímos
, ou seja,
. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 3
De
estritamente crescente segue-se que ela é injetiva. Portanto, se existirem
com
, então obrigatoriamente
. Assim, a solução de
, quando existir, será única.
Passo 4
Como
é contínua em
e satisfaz
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um
tal que
Resposta
Para cada
existe exatamente um
tal que
.