3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.
Passo 2
Denote o termo geral por
Aplicando o teste da razão, calculamos
Como
temos
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se
Isto define o intervalo aberto de convergência:
Passo 4
Verificamos os extremos:
x
= –
2 : então
|x-1|=3 e o termo geral vira proporcional a
3n , logo não tende a zero, divergindo.
x
=4 : idem,
|4-1|=3 e o termo geral é
3n , também divergente.
Portanto, não há convergência nas fronteiras.
Resposta
O intervalo de convergência é
(-2,4) .