3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1:
sumn=0^infty n,(x-1)^2n3^2n-1
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Denote o termo geral por
an = n, (x-1)^2n3^2n-1
Aplicando o teste da razão, calculamos
gl|an+1angr| = n+1n,|x-1|^2(n+1)|x-1|^2n ;times;3^2n-13^2(n+1)-1 = n+1n,|x-1|^23^2
Como
limntoinftyn+1n=1,
temos
limntoinftygl|an+1angr| = |x-1|^29

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
|x-1|^29 < 1 Longrightarrow |x-1|<3
Isto define o intervalo aberto de convergência:
-2 < x < 4

Passo 4

Verificamos os extremos:
x = 2: então |x-1|=3 e o termo geral vira proporcional a 3n, logo não tende a zero, divergindo.
x =4: idem, |4-1|=3 e o termo geral é 3n, também divergente.
Portanto, não há convergência nas fronteiras.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,4).

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